Matemática
Qual é a equação da circunferência e como encontrá-la?
Resposta rápida
A circunferência de centro C(a, b) e raio r tem equação reduzida (x − a)² + (y − b)² = r². Com centro na origem, ela é simplesmente x² + y² = r².
Numa frase
A equação da circunferência é a condição que todo ponto (x, y) da circunferência satisfaz: sua distância ao centro é sempre igual ao raio, o que dá (x − a)² + (y − b)² = r².
Explicação
Uma circunferência é o conjunto de todos os pontos que estão à mesma distância, o raio r, de um ponto fixo, o centro. No plano cartesiano, essa frase vira uma equação.
relógio
lápis
régua
Equação reduzida da circunferência de centro C(a, b) e raio r:
(x − a)² + (y − b)² = r²
De onde ela vem? Pegue um ponto qualquer P(x, y) da circunferência e o centro C(a, b). Desenhe um triângulo retângulo com hipotenusa CP: o cateto horizontal mede x − a e o vertical, y − b. Pelo teorema de Pitágoras, (x − a)² + (y − b)² = CP² = r². É a distância entre dois pontos, elevada ao quadrado.
O caso especial mais importante é a circunferência com centro na origem: a = 0 e b = 0, então
x² + y² = r²
Por exemplo, x² + y² = 25 é a circunferência de centro (0, 0) e raio 5. Ela passa por (5, 0), (0, 5), (−5, 0), (0, −5) e também por (3, 4), porque 3² + 4² = 25.
Como ler a equação. Os sinais dentro dos parênteses são os opostos das coordenadas do centro: (x − 2)² quer dizer a = 2, mas (x + 2)² = (x − (−2))² quer dizer a = −2. E o número do lado direito é r², não r: tire a raiz quadrada para achar o raio.
Dentro, sobre ou fora? Substitua as coordenadas de um ponto no lado esquerdo. Se der exatamente r², o ponto está sobre a circunferência; se der menos, dentro (é interior); se der mais, fora (é exterior).
Equação geral. Desenvolvendo os quadrados, obtém-se a equação geral (ou normal) x² + y² − 2ax − 2by + (a² + b² − r²) = 0, que costuma aparecer como x² + y² + Dx + Ey + F = 0. Para achar o centro e o raio, complete quadrados em x e em y. O centro é (−D/2, −E/2) e r² = (D/2)² + (E/2)² − F. Se esse número der negativo, a equação não representa uma circunferência.
Exemplos
| Centro | Raio | Equação reduzida |
|---|---|---|
| (0, 0) | 3 | x² + y² = 9 |
| (2, 5) | 4 | (x − 2)² + (y − 5)² = 16 |
| (−3, 1) | 6 | (x + 3)² + (y − 1)² = 36 |
| (4, −2) | √7 | (x − 4)² + (y + 2)² = 7 |
| (0, −5) | 1 | x² + (y + 5)² = 1 |
Exemplo resolvido 1 (centro e um ponto): ache a circunferência de centro (−1, 2) que passa por (5, 10). O raio é a distância entre eles: r² = (5 − (−1))² + (10 − 2)² = 36 + 64 = 100. A equação é (x + 1)² + (y − 2)² = 100, e r = 10.
Exemplo resolvido 2 (equação geral): ache o centro e o raio de x² + y² − 4x + 6y − 3 = 0. Agrupe e complete quadrados: (x² − 4x) + (y² + 6y) = 3, logo (x − 2)² − 4 + (y + 3)² − 9 = 3, ou seja, (x − 2)² + (y + 3)² = 16. Centro (2, −3) e raio 4.
Erros comuns
- Errar os sinais do centro. (x + 3)² + (y − 1)² = 36 tem centro (−3, 1), não (3, −1). Dica: escreva (x − (−3))².
- Esquecer de elevar o raio ao quadrado. Com raio 6 a equação é … = 36, não … = 6.
- Dar r² como raio. Em x² + y² = 49 o raio é √49 = 7, não 49.
- Completar quadrados de um lado só. Se você soma 4 e 9 dentro dos parênteses, subtraia depois (ou some também do outro lado) para manter a igualdade.
Passo a passo
Passo a passo
- Ache o centroLeia no enunciado ou calcule o ponto médio, se souber as extremidades de um diâmetro.
- Ache r²Use o raio dado ou o quadrado da distância do centro a um ponto da circunferência.
- SubstituaColoque a, b e r² em (x − a)² + (y − b)² = r².
- ConfiraSubstitua um ponto conhecido da circunferência: os dois lados têm de dar o mesmo valor.
- A partir da equação geralAgrupe os termos em x e em y, complete quadrados e leia o centro e o raio.
A reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência. Isso permite achar a equação de uma tangente, como no exercício 16.
Exercícios
Equação da circunferência
Resolve cada um e depois confere a resposta.
- Escreva a equação da circunferência de centro (0, 0) e raio 5.
Ver resposta
x² + y² = 25 - Escreva a equação da circunferência de centro (2, 3) e raio 4.
Ver resposta
(x − 2)² + (y − 3)² = 16 - Escreva a equação da circunferência de centro (−1, 4) e raio 3.
Ver resposta
(x + 1)² + (y − 4)² = 9 - Ache o centro e o raio de (x − 5)² + (y + 2)² = 49.
Ver resposta
Centro (5, −2), raio 7 - Ache o centro e o raio de x² + (y − 1)² = 10.
Ver resposta
Centro (0, 1), raio √10 ≈ 3,16 - O ponto (3, 4) pertence à circunferência x² + y² = 25?
Ver resposta
3² + 4² = 9 + 16 = 25: sim - O ponto (1, 2) é interior, pertence ou é exterior a (x − 4)² + (y − 6)² = 16?
Ver resposta
(1 − 4)² + (2 − 6)² = 9 + 16 = 25 > 16: é exterior - Uma circunferência tem centro (1, −2) e passa por (4, 2). Ache sua equação.
Ver resposta
r² = 3² + 4² = 25: (x − 1)² + (y + 2)² = 25 - As extremidades de um diâmetro são (−2, 1) e (6, 7). Ache a equação da circunferência.
Ver resposta
Centro = ponto médio (2, 4); r² = (6 − 2)² + (7 − 4)² = 16 + 9 = 25: (x − 2)² + (y − 4)² = 25 - Ache o centro e o raio de x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0.
Ver resposta
(x − 3)² − 9 + (y + 2)² − 4 − 12 = 0, logo (x − 3)² + (y + 2)² = 25: centro (3, −2), raio 5 - Ache o centro e o raio de x² + y² + 8x − 2y + 8 = 0.
Ver resposta
(x + 4)² − 16 + (y − 1)² − 1 + 8 = 0, logo (x + 4)² + (y − 1)² = 9: centro (−4, 1), raio 3 - Escreva (x − 2)² + (y + 5)² = 9 na forma geral.
Ver resposta
x² − 4x + 4 + y² + 10y + 25 − 9 = 0: x² + y² − 4x + 10y + 20 = 0 - Onde (x − 3)² + (y − 1)² = 25 corta o eixo y?
Ver resposta
Com x = 0: 9 + (y − 1)² = 25, então (y − 1)² = 16 e y − 1 = ±4: (0, 5) e (0, −3) - A equação x² + y² + 2x + 4y + 10 = 0 representa uma circunferência?
Ver resposta
(x + 1)² + (y + 2)² = 1 + 4 − 10 = −5. Uma soma de quadrados não pode ser negativa: não. - Ache a circunferência que passa por (0, 0), (6, 0) e (0, 8).
Ver resposta
Em x² + y² + Dx + Ey + F = 0: (0, 0) dá F = 0; (6, 0) dá 36 + 6D = 0, D = −6; (0, 8) dá 64 + 8E = 0, E = −8. Fica x² + y² − 6x − 8y = 0: (x − 3)² + (y − 4)² = 25 - Ache a reta tangente a x² + y² = 25 no ponto (3, 4).
Ver resposta
O raio até (3, 4) tem coeficiente angular 4/3, então a tangente tem coeficiente angular −3/4: y − 4 = −¾(x − 3), ou seja, 3x + 4y = 25
Problemas
Circunferências num mapa
Resolve cada um e depois confere a resposta.
- Uma antena de celular em (0, 0) cobre tudo até 8 km. Escreva a equação da borda da área de cobertura. Uma casa em (5, 6) (em km) tem sinal?
Ver resposta
x² + y² = 64; 5² + 6² = 61 < 64, a casa está dentro: sim, tem sinal. - Um aspersor em (3, 2) molha tudo até 4 m de distância. Escreva a equação da borda da área molhada. Ele alcança uma roseira em (6, 6)?
Ver resposta
(x − 3)² + (y − 2)² = 16; (6 − 3)² + (6 − 2)² = 9 + 16 = 25 > 16: não (a roseira está a 5 m). - Numa planta em metros, a borda de um lago redondo é x² + y² − 10x − 8y + 32 = 0. Ache o centro e o raio do lago.
Ver resposta
(x − 5)² + (y − 4)² = 25 + 16 − 32 = 9: centro (5, 4), raio 3 m - Uma roda-gigante tem o centro a 20 m do chão e raio de 18 m. Usando o chão como eixo x e o centro em (0, 20), escreva sua equação e ache a altura da cadeira mais baixa.
Ver resposta
x² + (y − 20)² = 324; ponto mais baixo 20 − 18 = 2 m acima do chão. - Uma cabra está presa a uma estaca em (2, −1) por uma corda de 5 m. Ela alcança uma cenoura em (5, 3)?
Ver resposta
(5 − 2)² + (3 + 1)² = 9 + 16 = 25 = 5²: a cenoura está bem na borda, sim, por pouco.
Perguntas frequentes
O que é a equação reduzida da circunferência?
É (x − a)² + (y − b)² = r², em que (a, b) é o centro e r o raio. Com centro na origem, fica x² + y² = r².
O que é a equação geral da circunferência?
É a equação reduzida com os quadrados desenvolvidos: x² + y² − 2ax − 2by + (a² + b² − r²) = 0. Para voltar à reduzida, complete quadrados; em x² + y² + Dx + Ey + F = 0, o centro é (−D/2, −E/2).
Como achar a equação da circunferência com dois pontos?
Se os dois pontos são as extremidades de um diâmetro, o centro é o ponto médio deles e o raio é metade da distância entre eles. Se você só sabe que a circunferência passa pelos dois pontos, existem infinitas possibilidades: falta um dado (outro ponto, o raio ou uma reta que contém o centro).
Como achar a circunferência que passa por três pontos?
Substitua cada ponto em x² + y² + Dx + Ey + F = 0: saem três equações com D, E e F. Resolva o sistema e complete quadrados. Outra forma: as mediatrizes de duas cordas se cortam no centro.
Como saber se uma equação representa uma circunferência?
Os coeficientes de x² e y² precisam ser iguais (e diferentes de zero), não pode haver termo em xy e, depois de dividir tudo por esse coeficiente e completar quadrados, o lado direito precisa ser positivo, porque ele é r².
Dá para calcular a área a partir da equação?
Sim: leia r e use área = πr² e comprimento = 2πr. Para x² + y² = 25, r = 5: a área é 25π ≈ 78,5 unidades de área e o comprimento 10π ≈ 31,4 unidades.
Quiz rápido
Equação da circunferência
Veja o que você sabe com 4 perguntas rápidas.
Pergunta 1 de 4
Quais são o centro e o raio de (x − 3)² + (y + 4)² = 36?
Pratique
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Revise a circunferência: raio, comprimento e área
Atividades de geometria
Pratique passo a passo em um curso completo: Matemática · 2ª série do Ensino Médio
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