¿Qué es un vector en matemáticas y cómo se suman los vectores?

Algunas magnitudes quedan claras con un número: una masa de 5 kg, una temperatura de 18 °C o un tiempo de 3 minutos. Son magnitudes escalares. Otras no tienen sentido sin una dirección. "Camina 3 km" no dice dónde terminas; "camina 3 km hacia el este", sí. Esas son magnitudes vectoriales: el desplazamiento, la velocidad, la aceleración o la fuerza. Por eso en física los vectores aparecen en cada tema.

Un vector se dibuja como una flecha, y en España se describe con tres elementos:

• Módulo: la longitud de la flecha, el "tamaño" del vector. Se escribe |v|.
• Dirección: la recta sobre la que está la flecha (horizontal, inclinada…).
• Sentido: hacia qué lado de esa recta apunta la punta.

Un vector que va del punto A (su origen) al punto B (su extremo) se escribe AB con una flecha encima. En el plano se describe con sus componentes: cuánto avanza en horizontal y cuánto en vertical. Así, de A(1, 2) a B(4, 6) se avanza 3 a la derecha y 4 hacia arriba, y el vector es (3; 4). Para evitar líos con la coma decimal, en esta página separamos las componentes con punto y coma. Se calcula siempre como extremo menos origen: (4 − 1; 6 − 2). Es el mismo tipo de movimiento que una traslación en las transformaciones geométricas.

Las operaciones se hacen componente a componente:

• Suma: (3; 4) + (1; −2) = (4; 2). En el dibujo, se pone el origen de una flecha en la punta de la otra; el vector suma, la resultante, va del principio de la primera al final de la segunda (regla del polígono, o del paralelogramo).
• Resta: (3; 4) − (1; −2) = (2; 6). Restar b es sumar su vector opuesto, −b: mismo módulo y dirección, sentido contrario.
• Producto por un número: 2 · (3; 4) = (6; 8). La flecha mide el doble y conserva la dirección. Si el número es negativo, cambia el sentido.
• Módulo: el de (x; y) es √(x² + y²), gracias al teorema de Pitágoras. El módulo de (3; 4) es √(9 + 16) = 5.

Dos vectores son paralelos (o proporcionales) si uno es un número por el otro: (2; 3) y (6; 9) lo son, porque (6; 9) = 3 · (2; 3). Tres puntos A, B y C están alineados si AB y BC son paralelos, ya que comparten el punto B. Dos vectores son perpendiculares (u ortogonales) si su producto escalar es cero: para (a; b) y (c; d), a·c + b·d = 0.

Un vector unitario tiene módulo 1; se obtiene dividiendo un vector entre su módulo. Con O como origen, el vector de posición de un punto A es OA. Si OA = a y OB = b, entonces AB = b − a, y el punto medio de AB tiene vector de posición ½(a + b). En el espacio, un vector tiene tres componentes, (x; y; z), y su módulo es √(x² + y² + z²).

¿Qué es un vector y cuáles son sus elementos?#

Es un segmento orientado, una flecha. Sus elementos son el módulo (la longitud), la dirección (la recta que lo contiene) y el sentido (hacia dónde apunta); muchos libros añaden el punto de aplicación u origen.

¿Cómo se calculan las componentes de un vector?#

Se restan las coordenadas del origen a las del extremo. De A(2, 1) a B(7, 4): (7 − 2; 4 − 1) = (5; 3).

¿Qué son vectores equipolentes?#

Son vectores con el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido, aunque estén en sitios distintos. Tienen las mismas componentes, así que representan el mismo vector.

¿Qué es un vector unitario?#

Un vector de módulo 1. Para obtener el de un vector cualquiera, se divide entre su módulo: el unitario de (3; 4) es (0,6; 0,8).

¿Cuándo son perpendiculares u ortogonales dos vectores?#

Cuando su producto escalar vale 0: se multiplican las primeras componentes, se multiplican las segundas y se suman. (2; 3) y (3; −2) dan 6 − 6 = 0.

¿Qué son los vectores en física?#

Las magnitudes que necesitan dirección y sentido: desplazamiento, velocidad, aceleración, fuerza o cantidad de movimiento. Al sumar fuerzas se obtiene la fuerza resultante.

¿Qué significa "vector" en salud o en diseño gráfico?#

Es otro significado de la misma palabra. En salud, un vector es un ser vivo que transmite una enfermedad, como el mosquito que transmite el dengue. En diseño, una imagen vectorial guarda puntos, líneas y curvas descritos con números, por eso se puede ampliar sin pixelarse.