¿Qué es una matriz y cómo se multiplican las matrices?

Una matriz guarda muchos números a la vez: una clasificación de liga o los píxeles de una imagen son tablas de números. En el libro verás las matrices entre paréntesis grandes; aquí las escribimos en una sola línea, fila a fila, con un punto y coma entre filas: [1 2 3; 4 5 6] significa que la primera fila es 1 2 3 y la segunda, 4 5 6.

La dimensión (u orden) de una matriz es filas × columnas. [1 2 3; 4 5 6] tiene 2 filas y 3 columnas: es una matriz 2 × 3 («dos por tres»). Cada número es un elemento. El elemento de la fila i y la columna j se escribe aᵢⱼ; en esta matriz, a₂₁ = 4 y a₁₃ = 3.

Tipos de matrices:

• Matriz fila: una sola fila, como [3 1 4]. Matriz columna: una sola columna, como [2; 5].
• Matriz cuadrada: igual número de filas que de columnas (2 × 2, 3 × 3…).
• Matriz nula: todos sus elementos son 0.
• Matriz identidad I: unos en la diagonal principal y ceros en el resto, como [1 0; 0 1]. Funciona como el número 1: AI = IA = A.

Suma y resta. Solo se pueden sumar matrices de la misma dimensión, sumando los elementos que ocupan el mismo lugar: [1 2; 3 4] + [5 0; −1 2] = [6 2; 2 6]. Multiplicar por un número multiplica todos los elementos: 3 · [2 −1; 0 4] = [6 −3; 0 12].

Multiplicar dos matrices es otra cosa, y es lo que más se busca. Para obtener un elemento de AB se toma una fila de A y una columna de B, se multiplican los números por parejas y se suman los resultados. La fila 1 con la columna 1 da el elemento de la fila 1 y columna 1, y así sucesivamente. Por eso solo funciona cuando el número de columnas de A es igual al número de filas de B. Una 2 × 3 por una 3 × 2 se puede multiplicar (los números de dentro, 3 y 3, coinciden) y el resultado es 2 × 2 (los de fuera).

El orden importa: en general AB ≠ BA, es decir, el producto de matrices no es conmutativo. Por eso las ecuaciones matriciales se despejan con cuidado: si AX = B, entonces X = A⁻¹B, y no BA⁻¹.

En una matriz 2 × 2 [a b; c d], el determinante es ad − bc. Si no es cero, la matriz tiene inversa A⁻¹, con AA⁻¹ = I:

A⁻¹ = (1 / (ad − bc)) · [d −b; −c a]

Se intercambian a y d, se cambia el signo de b y c y se divide entre el determinante. La inversa permite resolver sistemas de ecuaciones de una vez; en 2.º de Bachillerato también se usa el método de Gauss (o Gauss-Jordan). Las matrices además mueven figuras: [0 −1; 1 0] gira cada punto 90° en sentido antihorario, lo que las relaciona con las transformaciones geométricas y los vectores. Los gráficos por ordenador y la inteligencia artificial funcionan con enormes cantidades de productos de matrices.

Para comprobar sirven las calculadoras con modo de matrices o, en Python con NumPy, A @ B. En el examen hay que mostrar el cálculo.

¿Qué es una matriz en matemáticas?#

Una tabla rectangular de números ordenados en filas y columnas. Su dimensión se da como filas × columnas: una matriz 2 × 3 tiene 2 filas y 3 columnas.

¿Cómo se multiplican dos matrices?#

Cada elemento del resultado es una fila de la primera por una columna de la segunda: se multiplican los números por parejas y se suman. Solo se puede si el número de columnas de la primera es igual al de filas de la segunda.

¿Por qué la multiplicación de matrices no es conmutativa?#

Porque AB combina las filas de A con las columnas de B, y BA las filas de B con las columnas de A: son cálculos distintos. A veces BA ni siquiera existe aunque AB sí.

¿Cómo se multiplican una matriz 2 × 3 y una 3 × 2?#

Se puede, porque 3 = 3, y el resultado es 2 × 2. Cada uno de sus 4 elementos es la suma de tres productos.

¿Cómo se calcula la matriz inversa?#

En una 2 × 2, intercambia a y d, cambia el signo de b y c y divide entre el determinante ad − bc. Si el determinante es 0, no hay inversa. Para matrices 3 × 3 se usa el método de Gauss-Jordan o la matriz adjunta.

¿Qué relación hay entre matrices y determinantes?#

El determinante es un número asociado a una matriz cuadrada. Indica si la matriz tiene inversa (determinante distinto de 0) y sirve para resolver sistemas por la regla de Cramer.

Más práctica de álgebra