¿Qué es un sistema de ecuaciones y cómo se resuelve?

Una sola ecuación con dos incógnitas, como x + y = 10, tiene infinitas soluciones: 1 y 9, 4 y 6, 2,5 y 7,5. Si añades una segunda pista, x − y = 4, solo una pareja sirve para las dos: x = 7 e y = 3. Esa es la idea. Cada ecuación es una pista, y necesitas tantas pistas como incógnitas.

En clase lo verás escrito con una llave que agrupa las dos ecuaciones. Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas se llama sistema 2x2; con tres ecuaciones y tres incógnitas, sistema 3x3.

En España se enseñan tres métodos algebraicos y uno gráfico:

Sustitución. Despejas una incógnita en una ecuación y la sustituyes en la otra. Con y = 3x y x + y = 8: x + 3x = 8, 4x = 8, x = 2 e y = 6.

Igualación. Despejas la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualas los resultados. Con y = 3x − 1 e y = x + 5: 3x − 1 = x + 5, 2x = 6, x = 3 e y = 8.

Reducción. Sumas o restas las ecuaciones para que desaparezca una incógnita. Con 2a + b = 130 y a + b = 80 (precios en céntimos), resta: a = 50, y luego b = 30. La manzana cuesta 0,50 € y el plátano 0,30 €. Si los coeficientes no coinciden, multiplica antes una ecuación entera.

Método gráfico. Cada ecuación lineal es una recta. La solución es el punto donde se cortan. y = x + 1 e y = −x + 5 se cortan en (2, 3). Es muy visual, pero cuesta leer valores exactos.

Tipos de sistemas. Si las rectas se cortan en un punto, el sistema es compatible determinado (una solución). Si son la misma recta, es compatible indeterminado (infinitas soluciones). Si son paralelas, es incompatible (sin solución). Antes de empezar conviene dominar las ecuaciones de primer grado y las coordenadas.

Estos son los pasos del método de reducción. En sustitución e igualación, los pasos 2 y 3 se cambian por "despejar y sustituir" o "despejar e igualar".

¿Qué es un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas?#

Son dos ecuaciones de primer grado con x e y, como x + y = 10 y x − y = 4. Su solución es la pareja de valores que cumple las dos a la vez; en la gráfica, el punto de corte de dos rectas.

¿Cómo se resuelve un sistema 2x2 por sustitución?#

Despeja una incógnita en una ecuación (por ejemplo y = 8 − x) y sustitúyela en la otra. Te queda una ecuación con una sola incógnita, que resuelves como siempre.

¿Qué es el método de igualación?#

Despejas la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualas las dos expresiones. Es cómodo cuando las dos ecuaciones ya vienen como "y = …".

¿Qué tipos de sistemas de ecuaciones hay?#

Compatible determinado (una solución, rectas que se cortan), compatible indeterminado (infinitas soluciones, la misma recta) e incompatible (sin solución, rectas paralelas).

¿Cómo se resuelven los sistemas 3x3 o de tres incógnitas?#

Con reducción: eliminas la misma incógnita dos veces y te quedan dos ecuaciones con dos incógnitas. En Bachillerato se usa el método de Gauss y las matrices, que hacen lo mismo de forma ordenada.

¿Se pueden resolver con la calculadora?#

Algunas calculadoras científicas tienen un modo de ecuaciones que resuelve sistemas. Sirve para comprobar, pero en los exámenes te pedirán el procedimiento.