Matemáticas
¿Qué son los triángulos semejantes y cómo se calcula un lado que falta?
Respuesta rápida
Dos triángulos son semejantes si tienen la misma forma aunque no el mismo tamaño. Sus ángulos son iguales y sus lados, proporcionales, con la misma razón de semejanza.
En una frase
Dos triángulos son semejantes cuando uno es una ampliación (o reducción) exacta del otro: mismos ángulos y lados proporcionales.
Explicación
Haz una foto de un triángulo con el móvil y amplíala. El triángulo se hace más grande, pero no cambia de forma: los ángulos siguen igual y todos los lados crecen en la misma proporción. El triángulo ampliado y el original son semejantes. Hay triángulos semejantes por todas partes: un árbol y su sombra, una rampa y sus soportes, un plano y el terreno real.
árbol
sol
regla
Dos triángulos son semejantes cuando:
- sus ángulos correspondientes son iguales, y
- sus lados correspondientes son proporcionales.
El cociente entre lados correspondientes es la razón de semejanza, que se suele llamar k. Si el triángulo ABC es semejante al DEF, se escribe ABC ~ DEF. El orden de las letras importa: A corresponde a D, B a E y C a F. Entonces
DE ÷ AB = EF ÷ BC = DF ÷ AC = k
Esta es la «fórmula» de los triángulos semejantes: una fracción por cada pareja de lados correspondientes, todas iguales. En el fondo es trabajar con razones y proporciones.
Para demostrar que dos triángulos son semejantes no hace falta comprobarlo todo. Basta con uno de estos criterios de semejanza:
- AA (ángulo–ángulo): tienen dos ángulos iguales. El tercero también coincide, porque los ángulos de un triángulo suman 180°.
- LLL (lado–lado–lado): los tres pares de lados son proporcionales.
- LAL (lado–ángulo–lado): dos pares de lados son proporcionales y el ángulo que forman es igual.
Un caso muy habitual es trazar dentro de un triángulo una recta paralela a uno de sus lados. El triángulo pequeño de arriba y el grande comparten un ángulo, y la paralela hace iguales los otros (ángulos correspondientes). Son semejantes por AA: se dice que están en posición de Tales. Es la base del teorema de Tales: si dos rectas se cortan por paralelas, los segmentos que se forman son proporcionales.
Las longitudes se multiplican por k, pero las áreas se multiplican por k². Si duplicas todos los lados, el área se hace cuatro veces mayor, porque se duplican la base y la altura.
Ejemplos
| Triángulo 1 | Triángulo 2 | Comprobación | ¿Semejantes? |
|---|---|---|---|
| lados 3, 4, 5 | lados 6, 8, 10 | 6/3 = 8/4 = 10/5 = 2 | sí, k = 2 |
| ángulos 40°, 60° | ángulos 60°, 80° | terceros ángulos: 80° y 40° | sí (AA) |
| lados 4, 6, 8 | lados 6, 9, 13 | 6/4 = 1,5; 9/6 = 1,5; 13/8 = 1,625 | no |
| lados 5 y 8, ángulo de 50° entre ellos | lados 10 y 16, ángulo de 50° entre ellos | 10/5 = 16/8 = 2 | sí (LAL) |
Calcular un lado. ABC ~ DEF con AB = 4 cm, BC = 6 cm y DE = 10 cm. La razón es k = 10 ÷ 4 = 2,5, así que EF = 6 · 2,5 = 15 cm.
Sombras. Una persona de 1,5 m proyecta una sombra de 2 m. En ese mismo momento, un árbol proyecta una sombra de 12 m. Los rayos del sol llegan a los dos con el mismo ángulo, así que los triángulos son semejantes: altura ÷ sombra es igual en ambos. Altura del árbol = 1,5 · 12 ÷ 2 = 9 m.
Errores frecuentes
- Emparejar mal los lados. Solución: empareja los lados según el ángulo al que se oponen: el menor con el menor, el mayor con el mayor. Si un triángulo está girado o volteado, dibújalos en la misma posición.
- Sumar en vez de multiplicar. Pasar de 4 a 10 es «· 2,5», no «+ 6». Todos los lados se multiplican por la misma razón.
- Usar k para el área. Si k = 3, el área es 3² = 9 veces mayor, no 3.
- Usar solo un trozo del lado en la posición de Tales. Compara el triángulo pequeño con el grande entero: usa AB, no solo el segmento DB.
Paso a paso
Paso a paso
- Comprueba que son semejantesUsa AA, LLL o LAL. A menudo bastan dos ángulos iguales o una paralela.
- Empareja los vérticesDecide qué vértice corresponde a cuál. Si ayuda, dibuja los triángulos uno al lado del otro, en la misma posición.
- Halla la razón de semejanzaElige un par de lados correspondientes conocidos: k = lado nuevo ÷ lado original.
- Calcula el lado que faltaMultiplica por k para pasar del pequeño al grande; divide entre k para pasar del grande al pequeño.
- CompruebaEl triángulo grande debe tener los lados más largos, y todas las razones deben dar el mismo k.
También puedes plantear una proporción y multiplicar en cruz: si 4/10 = 6/x, entonces 4x = 60 y x = 15. Es el mismo cálculo que con la razón de semejanza.
Ejercicios de práctica
Triángulos semejantes
Resuelve cada uno y luego comprueba tu respuesta.
- Un triángulo de lados 2, 3 y 4 cm se amplía con razón 3. ¿Cuánto miden los nuevos lados?
Ver respuesta
2 · 3, 3 · 3, 4 · 3 = 6, 9 y 12 cm - ¿Son semejantes los triángulos de lados 5, 12, 13 y 10, 24, 26?
Ver respuesta
10/5 = 24/12 = 26/13 = 2: sí, con k = 2 - ¿Son semejantes los triángulos de lados 3, 5, 6 y 6, 10, 11?
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6/3 = 2 y 10/5 = 2, pero 11/6 ≈ 1,83: no - Un triángulo tiene ángulos de 50° y 70°. Otro tiene ángulos de 70° y 60°. ¿Son semejantes?
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El tercer ángulo del primero es 180° − 50° − 70° = 60°. Los dos tienen 50°, 60° y 70°: sí (AA) - Un triángulo tiene ángulos de 45° y 85°. Otro tiene ángulos de 45° y 55°. ¿Son semejantes?
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Terceros ángulos: 50° y 80°. Los ángulos son 45°, 50°, 85° y 45°, 55°, 80°: no - ABC ~ PQR, con AB = 6 cm y PQ = 9 cm. ¿Cuál es la razón de semejanza de ABC a PQR?
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9 ÷ 6 = 1,5 - En los mismos triángulos, BC = 8 cm. Calcula QR.
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8 · 1,5 = 12 cm - En los mismos triángulos, PR = 15 cm. Calcula AC.
Ver respuesta
15 ÷ 1,5 = 10 cm - Dos triángulos semejantes tienen lados correspondientes de 4 cm y 10 cm. El pequeño tiene 15 cm de perímetro. ¿Y el grande?
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k = 10 ÷ 4 = 2,5, así que 15 · 2,5 = 37,5 cm - Dos triángulos semejantes tienen razón 3. El pequeño tiene un área de 5 cm². ¿Cuál es el área del grande?
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5 · 3² = 45 cm² - Dos triángulos semejantes tienen áreas de 16 cm² y 36 cm². ¿Cuál es la razón entre sus lados?
Ver respuesta
√16 : √36 = 4 : 6 = 2 : 3 - Un triángulo tiene lados de 6 cm y 9 cm con un ángulo de 40° entre ellos; otro, lados de 4 cm y 6 cm con 40° entre ellos. ¿Son semejantes?
Ver respuesta
6/4 = 9/6 = 1,5 y el ángulo comprendido es igual: sí (LAL) - En el triángulo ABC, D está en AB y E en AC, con DE paralelo a BC. AD = 4 cm, AB = 10 cm y DE = 6 cm. Calcula BC.
Ver respuesta
ADE ~ ABC (posición de Tales), k = 10 ÷ 4 = 2,5, así que BC = 6 · 2,5 = 15 cm - En la misma figura, AE = 5 cm. Calcula AC y EC.
Ver respuesta
AC = 5 · 2,5 = 12,5 cm, así que EC = 12,5 − 5 = 7,5 cm - En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa la divide en segmentos de 4 cm y 9 cm. Calcula la altura h.
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Los dos triángulos pequeños son semejantes: h/4 = 9/h, luego h² = 36: h = 6 cm (teorema de la altura)
Problemas
Triángulos semejantes en la vida real
Resuelve cada uno y luego comprueba tu respuesta.
- Una alumna de 1,6 m proyecta una sombra de 2 m. A la misma hora, un mástil proyecta una sombra de 15 m. ¿Cuánto mide el mástil?
Ver respuesta
1,6 ÷ 2 = h ÷ 15, así que h = 1,6 · 15 ÷ 2 = 12 m - Una rampa sube de forma uniforme. Un soporte de 0,5 m está a 2 m (medidos en el suelo) del inicio de la rampa, y la rampa termina a 8 m del inicio. ¿A qué altura está el final?
Ver respuesta
0,5 ÷ 2 = h ÷ 8, así que h = 2 m - Pones un espejo en el suelo a 10 m de un edificio y retrocedes hasta ver en él lo alto del edificio. Estás a 2 m del espejo y tus ojos están a 1,5 m del suelo. ¿Cuánto mide el edificio?
Ver respuesta
Los ángulos en el espejo son iguales, así que los triángulos son semejantes: h = 1,5 · 10 ÷ 2 = 7,5 m - Una vela triangular mide 6 m de alto y 4 m de base. Un barco de juguete tiene una vela semejante de 30 cm de alto. ¿Cuánto mide su base?
Ver respuesta
k = 30 ÷ 600 = 0,05, así que 400 cm · 0,05 = 20 cm - En un plano, un jardín triangular tiene lados de 3 cm, 4 cm y 5 cm. El lado menor real mide 12 m. Calcula el lado mayor real y el área real.
Ver respuesta
k = 1200 cm ÷ 3 cm = 400, así que el lado mayor mide 5 · 400 cm = 20 m. Es un triángulo rectángulo de catetos 12 m y 16 m: área = ½ · 12 · 16 = 96 m²
Preguntas frecuentes
¿Qué significa que dos triángulos sean semejantes?
Que tienen la misma forma, aunque puedan tener distinto tamaño: ángulos iguales y lados proporcionales, como una foto y su ampliación.
¿Cómo se identifican dos triángulos semejantes?
Con los criterios de semejanza: dos ángulos iguales (AA), tres lados proporcionales (LLL) o dos lados proporcionales con el ángulo comprendido igual (LAL). Basta con cumplir uno.
¿Qué relación hay entre los triángulos semejantes y el teorema de Tales?
Si cortas un triángulo con una recta paralela a un lado, obtienes un triángulo pequeño semejante al grande: están en posición de Tales. El teorema de Tales dice que los segmentos que se forman son proporcionales.
¿Qué diferencia hay entre triángulos semejantes y congruentes?
Los semejantes tienen la misma forma; los triángulos congruentes (o iguales) tienen la misma forma y el mismo tamaño. Son semejantes con razón 1.
¿Cuál es el símbolo de semejanza?
Se usa ~: ABC ~ DEF se lee «el triángulo ABC es semejante al DEF». Para la congruencia se usa ≅.
Test rápido
Triángulos semejantes
Comprueba lo que sabes con 4 preguntas rápidas.
Pregunta 1 de 4
Dos triángulos tienen ángulos de 30° y 70°. ¿Qué puedes afirmar?
A practicar
Pruébalo
Practica los triángulos semejantes sin límite
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