Matemáticas
¿Qué son los triángulos congruentes y cómo se demuestra que dos triángulos lo son?
Respuesta rápida
Dos triángulos son congruentes (o iguales) si tienen exactamente la misma forma y el mismo tamaño. Se demuestra con los criterios LLL, LAL, ALA o, en los rectángulos, hipotenusa y cateto.
En una frase
Dos triángulos son congruentes cuando son copias exactas: cada lado y cada ángulo de uno coincide con un lado y un ángulo del otro.
Explicación
Recorta un triángulo de papel y úsalo de plantilla para recortar otro. Las dos piezas encajan perfectamente una sobre otra, aunque a lo mejor tengas que girar una o darle la vuelta. Son congruentes: misma forma y mismo tamaño. En España se dice muchas veces triángulos iguales; en Latinoamérica, congruentes. Girar, trasladar o reflejar una figura no cambia longitudes ni ángulos, por eso esos movimientos siempre dan una copia congruente.
tijeras
regla
lápiz
Se escribe △ABC ≅ △DEF y se lee «el triángulo ABC es congruente con el DEF». El orden de las letras dice qué elementos se corresponden: A con D, B con E y C con F. Así, AB = DE, BC = EF y AC = DF, y los ángulos en A y D, en B y E y en C y F son iguales.
Un triángulo tiene seis elementos (tres lados y tres ángulos), pero no hace falta comprobarlos todos. Bastan tres datos bien elegidos. Son los criterios de congruencia (o de igualdad):
- LLL (lado–lado–lado): los tres pares de lados son iguales.
- LAL (lado–ángulo–lado): dos pares de lados son iguales y también el ángulo comprendido entre ellos.
- ALA (ángulo–lado–ángulo): dos pares de ángulos son iguales y también el lado común a ellos.
- AAL: dos ángulos y un lado que no está entre ellos. Como dos ángulos fijan el tercero, se reduce a ALA.
- Hipotenusa y cateto: en dos triángulos rectángulos, si las hipotenusas son iguales y también un cateto, son congruentes.
Hay dos combinaciones que no sirven. AAA solo demuestra que los triángulos son semejantes: misma forma, quizá distinto tamaño. LLA (dos lados y un ángulo que no está entre ellos) puede dar dos triángulos distintos, salvo en el caso rectángulo, que es el de hipotenusa y cateto.
Cuando ya sabes que dos triángulos son congruentes, todos los demás elementos correspondientes son iguales también. Así se usan en las demostraciones, por ejemplo para probar que los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales.
Ejemplos
| Datos iguales en los dos triángulos | Criterio | ¿Congruentes? |
|---|---|---|
| lados de 5, 7 y 8 cm | LLL | sí |
| lados de 6 y 9 cm con un ángulo de 50° entre ellos | LAL | sí |
| ángulos de 40° y 70° con un lado de 10 cm entre ellos | ALA | sí |
| ángulos de 30°, 60° y 90°, hipotenusas de 10 cm y 12 cm | ninguno | no (solo semejantes) |
| ángulo recto, hipotenusa de 13 cm y un cateto de 5 cm | hipotenusa y cateto | sí (el otro cateto mide 12 cm en los dos) |
Una demostración. En una cometa (deltoide) ABCD, AB = AD y CB = CD. ¿Es △ABC ≅ △ADC? AB = AD (dato), CB = CD (dato) y AC es un lado común a los dos triángulos. Tres pares de lados iguales: LLL, así que sí. Por tanto, los ángulos en B y en D también son iguales.
Errores frecuentes
- Usar AAA. Los ángulos iguales solo prueban semejanza. Solución: asegúrate de tener al menos un par de lados iguales.
- Usar LAL con el ángulo equivocado. El ángulo tiene que estar entre los dos lados. Si no, es LLA, que no es un criterio.
- Escribir las letras en otro orden. △ABC ≅ △DEF significa A↔D, B↔E, C↔F. Solución: empareja los vértices con ángulos iguales antes de escribir.
- Olvidar los datos «gratis». Un lado común, los ángulos opuestos por el vértice o los ángulos que forman rectas paralelas son iguales sin que te lo digan. Búscalos primero.
Paso a paso
Paso a paso
- Marca el dibujoPon las mismas marcas en los lados iguales y arcos en los ángulos iguales que te dan.
- Busca datos gratisUn lado común, ángulos opuestos por el vértice, ángulos alternos o correspondientes entre paralelas, un ángulo recto.
- Elige el criterio¿Tienes LLL, LAL, ALA, AAL o hipotenusa y cateto? Comprueba que el ángulo de LAL está entre los dos lados.
- Escribe la conclusiónNombra los triángulos con los vértices en el mismo orden, justifica cada dato y di el criterio.
- Aprovecha el resultadoLos demás lados y ángulos correspondientes también son iguales.
Ejercicios de práctica
Triángulos congruentes
Resuelve cada uno y luego comprueba tu respuesta.
- Dos triángulos equiláteros tienen lados de 5 cm. ¿Son congruentes?
Ver respuesta
Los tres pares de lados son iguales: sí (LLL) - Dos triángulos tienen lados de 4 cm, 6 cm y 7 cm. ¿Son congruentes? ¿Por qué criterio?
Ver respuesta
Sí, LLL - Dos triángulos tienen lados de 5 cm y 8 cm con un ángulo de 40° entre ellos. ¿Congruentes? ¿Criterio?
Ver respuesta
Sí, LAL - Dos triángulos tienen ángulos de 50° y 60° con un lado de 9 cm entre ellos. ¿Congruentes? ¿Criterio?
Ver respuesta
Sí, ALA - Dos triángulos tienen ángulos de 35°, 65° y 80°. No se sabe nada de los lados. ¿Son congruentes?
Ver respuesta
No necesariamente: AAA solo demuestra que son semejantes. - Dos triángulos tienen ángulos de 40° y 75° y un lado de 6 cm opuesto al ángulo de 40°. ¿Congruentes?
Ver respuesta
Sí (AAL): el tercer ángulo mide 65° en los dos, así que se reduce a ALA. - Dos triángulos rectángulos tienen una hipotenusa de 10 cm y un cateto de 6 cm. ¿Son congruentes? ¿Cuánto mide el otro cateto?
Ver respuesta
Sí, hipotenusa y cateto. El otro cateto mide √(10² − 6²) = √64 = 8 cm en los dos. - △ABC ≅ △PQR, AB = 7 cm y el ángulo B mide 48°. Halla PQ y el ángulo Q.
Ver respuesta
PQ = 7 cm y Q = 48° - △ABC ≅ △XYZ, A = 52° y B = 61°. Halla Z.
Ver respuesta
C = 180° − 52° − 61° = 67°, y Z corresponde a C: 67° - △KLM ≅ △RST, KL = 3x + 1 y RS = 13. Halla x.
Ver respuesta
3x + 1 = 13, así que 3x = 12: x = 4 - △ABC ≅ △DEF con AB = 5 cm, BC = 6 cm y DF = 4 cm. Halla el perímetro de △DEF.
Ver respuesta
DE = 5, EF = 6, DF = 4: 15 cm - Dos triángulos tienen lados de 7 cm y 5 cm y un ángulo de 30° opuesto al lado de 5 cm. ¿Tienen que ser congruentes?
Ver respuesta
No: es el caso LLA. Hay dos triángulos distintos con esos datos (el ángulo opuesto al lado de 7 cm puede medir unos 44,4° o unos 135,6°). - En la cometa ABCD, AB = AD y CB = CD. ¿Qué criterio demuestra que △ABC ≅ △ADC?
Ver respuesta
AB = AD, CB = CD y AC es común: LLL - Los segmentos AB y CD se cortan en M, con AM = MB y CM = MD. ¿Por qué △AMC ≅ △BMD?
Ver respuesta
AM = MB, CM = MD y los ángulos en M son opuestos por el vértice: LAL - En el triángulo ABC, AB = AC y M es el punto medio de BC. Demuestra que B = C.
Ver respuesta
AB = AC, BM = CM y AM es común, así que △ABM ≅ △ACM (LLL). Los ángulos correspondientes son iguales: B = C
Problemas
Triángulos congruentes en la vida real
Resuelve cada uno y luego comprueba tu respuesta.
- Dos cerchas de un tejado están hechas con vigas de 3 m, 3 m y 5 m. ¿Los triángulos tienen la misma forma y tamaño?
Ver respuesta
Sí, LLL. Tres lados fijos determinan el triángulo, por eso los triángulos dan rigidez a puentes y tejados. - Para medir el ancho AB de un estanque, vas de A a un punto C y sigues la misma distancia hasta D; luego vas de B pasando por C hasta E, con CE = BC. Mides DE = 42 m. ¿Cuánto mide el estanque?
Ver respuesta
AC = CD, BC = CE y los ángulos en C son opuestos por el vértice, así que △ABC ≅ △DEC (LAL): AB = DE = 42 m - Dos soportes con forma de triángulo rectángulo bajo una rampa tienen cada uno una hipotenusa de 2,5 m y una altura de 0,7 m. ¿Cuánto mide la base de cada uno? ¿Son congruentes?
Ver respuesta
Base = √(2,5² − 0,7²) = √5,76 = 2,4 m; son congruentes por hipotenusa y cateto - Se cortan dos banderines triangulares con lados de 20 cm y 30 cm que forman un ángulo de 40°. ¿Tendrán el tercer lado igual?
Ver respuesta
Sí: son congruentes por LAL, así que todos sus elementos correspondientes son iguales. - La estructura 1 tiene ángulos de 50° y 60° con una viga de 8 m entre ellos. La estructura 2 tiene ángulos de 60° y 70° con una viga de 8 m entre ellos. ¿Son congruentes?
Ver respuesta
Las dos tienen ángulos de 50°, 60° y 70°, pero la viga de 8 m está opuesta al ángulo de 70° en la primera y al de 50° en la segunda: no
Preguntas frecuentes
¿Qué son los triángulos congruentes?
Son triángulos con la misma forma y el mismo tamaño. Se pueden superponer y coinciden por completo, después de girar, trasladar o dar la vuelta a uno de ellos.
¿Cuáles son los criterios de congruencia de triángulos?
Los básicos son LLL, LAL y ALA. Además, AAL se reduce a ALA, y en triángulos rectángulos basta con la hipotenusa y un cateto.
¿Por qué AAA no sirve?
Porque triángulos con los mismos ángulos pueden tener tamaños distintos. Un triángulo equilátero pequeño y uno grande tienen tres ángulos de 60°, pero no son congruentes. AAA solo prueba semejanza.
¿Qué diferencia hay entre triángulos congruentes y semejantes?
Los congruentes tienen la misma forma y el mismo tamaño; los semejantes, la misma forma pero quizá distinto tamaño. Dos triángulos congruentes son también semejantes, con razón 1.
¿Cómo se trazan triángulos congruentes con regla y compás?
Para copiar un triángulo por LLL, traza un lado con la regla, abre el compás con la medida de cada uno de los otros dos lados y traza dos arcos desde los extremos. El punto donde se cortan es el tercer vértice.
¿Cuál es el símbolo de congruencia?
Es ≅, un signo igual con una tilde encima: △ABC ≅ △DEF. La semejanza se indica solo con ~.
Test rápido
Triángulos congruentes
Comprueba lo que sabes con 4 preguntas rápidas.
Pregunta 1 de 4
Dos triángulos tienen dos pares de lados iguales y también es igual el ángulo comprendido entre esos lados. ¿Qué criterio demuestra que son congruentes?
A practicar
Pruébalo
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Tipos de triángulos
Los triángulos se clasifican por sus lados (equilátero, isósceles, escaleno) o por sus ángulos (acutángulo, rectángulo, obtusángulo). Los tres ángulos de cualquier triángulo suman 180 grados.
Triángulos semejantes
Dos triángulos son semejantes si tienen la misma forma aunque no el mismo tamaño. Sus ángulos son iguales y sus lados, proporcionales, con la misma razón de semejanza.
Transformaciones: traslación, giro y simetría
Las transformaciones mueven una figura sin cambiar su tamaño ni su forma. La traslación la desliza, la simetría la voltea sobre un eje y el giro la hace rotar alrededor de un punto.
Ángulos
Un ángulo mide cuánto se abren dos líneas que se juntan en un punto. Se mide en grados (°): un ángulo recto mide 90° y una vuelta completa, 360°.
Ángulos entre rectas paralelas
Si una secante corta dos paralelas, los ángulos correspondientes y los alternos internos son iguales, y los conjugados suman 180°. Los opuestos por el vértice siempre son iguales.
Área del círculo
El área de un círculo es pi por el radio al cuadrado: A = πr². Un círculo de 5 cm de radio tiene un área de unos 78,5 centímetros cuadrados.