¿Qué son los radicales en matemáticas y cómo se simplifican?

Algunas raíces cuadradas son exactas: √9 = 3 y √25 = 5. La mayoría no. √2 = 1,41421356… y sus cifras siguen sin fin y sin repetirse: √2 es un número irracional. Cuando escribimos ese número con el signo de raíz en lugar de redondearlo, trabajamos con radicales. En una expresión como ∛5, el signo √ es el radical, el número de dentro (5) es el radicando y el número pequeño (3) es el índice. Si no se escribe índice, es 2: una raíz cuadrada.

En los países de habla inglesa estas raíces no exactas se llaman surds (en Reino Unido) o radicals (en Estados Unidos). Las reglas son las mismas en todas partes.

¿Por qué no usar la calculadora? Porque un decimal es solo una aproximación y el radical es exacto. Si un cuadrado tiene lados de 1 m, el teorema de Pitágoras dice que su diagonal mide √(1² + 1²) = √2 m. Escribir 1,41 m es casi correcto; escribir √2 m es exactamente correcto, y sigue siéndolo en el resto del cálculo. Los radicales aparecen por todas partes en geometría y trigonometría: sen 60° vale exactamente √3/2.

La propiedad clave es que la raíz se reparte en productos y cocientes:

√(a · b) = √a · √b y √(a : b) = √a : √b

Para simplificar un radical (o extraer factores), busca el mayor número cuadrado que divide al radicando y saca su raíz fuera. √50 = √(25 · 2) = √25 · √2 = 5√2. Si no ves el cuadrado, ayuda la descomposición en factores primos: 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 2³ · 3², y cada pareja de factores iguales sale fuera como uno solo, así que √72 = 2 · 3 · √2 = 6√2.

Solo se pueden sumar y restar radicales semejantes, los que tienen el mismo índice y el mismo radicando, igual que puedes sumar 3x + 5x pero no 3x + 5y. Así, 3√2 + 5√2 = 8√2, pero √2 + √3 se queda como está. A menudo hay que simplificar primero para ver que son semejantes: √18 + √8 = 3√2 + 2√2 = 5√2.

Por último, se suele quitar la raíz del denominador. Eso es racionalizar: multiplica numerador y denominador por el radical, porque √a · √a = a. Para 6/√3, multiplica por √3/√3 y obtienes 6√3/3 = 2√3.

Los radicales también son potencias de exponente fraccionario: √a = a^½ y ∛a = a^⅓. Por eso se estudian juntos y las propiedades de las potencias sirven también para los radicales.

Si el denominador es como 3 − √2, multiplica numerador y denominador por el conjugado 3 + √2. Abajo queda (3 − √2)(3 + √2) = 9 − 2 = 7, ya sin raíz.

¿Qué son los radicales en matemáticas?#

Son expresiones con raíces, como √2, ∛5 o 3√7. Interesan sobre todo cuando la raíz no es exacta, porque así se escribe un número irracional de forma exacta sin redondear.

¿Cómo se simplifican radicales?#

Descompón el radicando y saca fuera los factores que forman un cuadrado (o un cubo, si el índice es 3): √50 = √(25 · 2) = 5√2. El radical está simplificado cuando dentro ya no queda ningún factor cuadrado.

¿Qué son radicales semejantes?#

Radicales con el mismo índice y el mismo radicando, como 2√3 y 5√3. Solo esos se pueden sumar o restar: 2√3 + 5√3 = 7√3.

¿Cómo se multiplican y dividen radicales?#

Si tienen el mismo índice, se multiplican o dividen los coeficientes por un lado y los radicandos por otro: 2√3 · 4√2 = 8√6 y √50 : √2 = √25 = 5. Al final, simplifica.

¿Cómo se escribe un radical como potencia?#

Con exponente fraccionario: el índice va al denominador. √a = a^½, ∛a = a^⅓ y ∛(a²) = a^⅔. Así puedes usar las propiedades de las potencias, por ejemplo √a · √a = a^½ · a^½ = a.

¿Qué es racionalizar?#

Quitar las raíces del denominador multiplicando arriba y abajo por el radical adecuado o por el conjugado: 6/√3 = 6√3/3 = 2√3.

¿Tienen algo que ver con los radicales libres?#

No. Los «radicales libres» son moléculas de química y biología. En matemáticas, «radical» viene del latín radix, «raíz».