¿Qué es una integral y cómo se integra una función?

Derivar lleva de una función a su ritmo de cambio, como pasar de la distancia a la velocidad. Integrar hace el camino contrario: parte del ritmo de cambio y recupera la cantidad original, como pasar de la velocidad a la distancia. El resultado se llama integral o primitiva.

Como x³ se deriva como 3x², una primitiva de 3x² es x³. Pero x³ + 5 y x³ − 2 también tienen derivada 3x², porque las constantes desaparecen. Por eso se escribe

∫3x² dx = x³ + C

La S alargada, ∫, significa «integral de»; dx indica que la variable es x, y C es la constante de integración, que puede ser cualquier número. Esto es una integral indefinida: una familia de funciones con la misma derivada.

La regla de la potencia para integrar deshace la de derivar:

∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C, para cualquier n distinto de −1

Es decir: suma uno al exponente y divide entre el nuevo exponente. x² da x³/3 y x⁴ da x⁵/5. Un número que multiplica se queda (∫5x² dx = 5x³/3 + C) y una suma se integra término a término. Una constante sola gana una x: ∫7 dx = 7x + C. Para n = −1 habría que dividir entre 0, así que hay un resultado aparte: ∫(1/x) dx = ln|x| + C.

La segunda gran idea es el área. Corta la región bajo una curva en tiras rectangulares muy finas y suma sus áreas. Cuanto más finas son las tiras, más se acerca la suma al área exacta, que es la integral definida entre a y b:

∫ de a a b de f(x) dx = F(b) − F(a), donde F es una primitiva de f.

Este resultado se conoce como regla de Barrow y es la consecuencia del teorema fundamental del cálculo. Al restar, la C se cancela, así que una integral definida da un número, no una fórmula. Compruébalo con algo conocido: el área bajo y = 2x entre x = 0 y x = 3 es un triángulo de base 3 y altura 6, de área 9. Integrando: ∫2x dx = x², y 3² − 0² = 9. ✓

Las integrales aparecen siempre que se acumula un ritmo en el tiempo o en el espacio: la distancia a partir de la velocidad, el agua de un depósito a partir del caudal, el trabajo de una fuerza o el volumen de un cuerpo.

Comprueba siempre el resultado derivándolo: tienes que volver a la función del principio.

¿Qué es una integral en matemáticas?#

Es la operación inversa de la derivada y, a la vez, una forma de sumar infinitas partes muy pequeñas. La integral definida da el área bajo una curva. (La palabra «integración» también se usa para la integración social o la integración curricular, que no tienen nada que ver con esta página.)

¿Qué es la integración por partes?#

Es una regla para integrar algunos productos: ∫u dv = u·v − ∫v du. Para ∫x·eˣ dx, toma u = x y dv = eˣ dx: el resultado es x·eˣ − eˣ + C. Es la regla del producto de las derivadas al revés.

¿Cuáles son las integrales inmediatas más usadas?#

∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C (n ≠ −1); ∫k dx = kx + C; ∫(1/x) dx = ln|x| + C; ∫eˣ dx = eˣ + C; ∫cos x dx = sen x + C; ∫sen x dx = −cos x + C.

¿Cuál es la integral de una constante?#

∫k dx = kx + C. Por ejemplo, ∫5 dx = 5x + C. En la gráfica, el área bajo la recta horizontal y = 5 entre 0 y x es un rectángulo de área 5x.

¿Qué es la integración por cambio de variable?#

Se sustituye una parte de la expresión por una letra nueva para simplificarla. En ∫2x(x² + 1)³ dx, con t = x² + 1 se tiene dt = 2x dx, y la integral queda ∫t³ dt = t⁴/4 + C = (x² + 1)⁴/4 + C.

¿Qué diferencia hay entre integral definida e indefinida?#

La indefinida es una familia de funciones (lleva + C); la definida, con límites a y b, es un número: F(b) − F(a), que mide el área con signo bajo la curva.