¿Qué es la derivada de una función y cómo se deriva?

Una recta tiene la misma pendiente en todas partes. Una curva no: y = x² es plana abajo y se va haciendo cada vez más empinada. La derivada es una fórmula que da esa inclinación en cada punto.

La derivada de una función f se escribe f′(x) («f prima de x») o, con la notación de Leibniz, dy/dx. En cada punto es igual a la pendiente de la recta tangente, la recta que toca la curva justo en ese punto.

¿De dónde sale? Toma dos puntos de la curva, x y x + h, y calcula la pendiente de la recta que los une: (f(x + h) − f(x)) / h. Esa es la tasa de variación media. Ahora haz h cada vez más pequeño: la recta se convierte en la tangente. Para y = x², la pendiente es ((x + h)² − x²) / h = (2xh + h²) / h = 2x + h, y cuando h tiende a 0 queda 2x. Esta es la definición de derivada como límite.

Nadie hace ese límite cada vez, porque aparece un patrón. Es la regla de la potencia:

Si f(x) = xⁿ, entonces f′(x) = n·xⁿ⁻¹

Es decir: multiplica por el exponente y réstale uno al exponente. x³ da 3x² y x⁵ da 5x⁴. Con tres reglas más puedes derivar cualquier polinomio:

• Un número que multiplica se queda: 4x³ da 4 · 3x² = 12x².
• Una constante sola desaparece: 7 da 0, porque una recta horizontal tiene pendiente 0.
• Las sumas se derivan término a término: x² + 5x − 3 da 2x + 5.

La regla de la potencia vale para cualquier exponente, también negativos y fraccionarios. Para usarla, escribe antes raíces y fracciones como potencias: √x = x^(1/2) y 1/x = x⁻¹.

¿Para qué sirve? Una derivada es una tasa de variación, como la velocidad de un coche (lo rápido que cambia la distancia con el tiempo) o el ritmo al que crece una población. Igualar la derivada a 0 da los puntos críticos de una curva, entre ellos sus máximos y mínimos: así se busca el diseño más resistente, más barato o con más beneficio. El camino inverso, de la derivada a la función original, es la integral.

Para distinguir un máximo de un mínimo, deriva otra vez: es la segunda derivada, f″(x). Si en el punto crítico es positiva, hay un mínimo; si es negativa, un máximo.

¿Qué es la derivada de una función?#

Es una nueva función que da, en cada punto, la tasa de variación instantánea de la original: la pendiente de la recta tangente a su gráfica. Derivar es calcularla.

¿Cuáles son las reglas de derivación?#

Potencia: xⁿ da n·xⁿ⁻¹. Constante: 0. Suma: término a término. Producto: (u·v)′ = u′·v + u·v′. Cociente: (u/v)′ = (u′·v − u·v′)/v². Cadena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x).

¿Qué es la derivación implícita?#

Es derivar una ecuación en la que y no está despejada, tratando y como función de x y aplicando la regla de la cadena. En x² + y² = 25: 2x + 2y·y′ = 0, luego y′ = −x/y. En el punto (3, 4), la pendiente es −3/4.

¿Cuáles son las derivadas de sen x, cos x, eˣ y ln x?#

sen x da cos x, cos x da −sen x, tg x da 1/cos² x (x en radianes). eˣ es su propia derivada, aˣ da aˣ·ln a y ln x da 1/x.

¿Qué significa «derivación» en otras materias?#

En lengua, la derivación forma palabras nuevas añadiendo prefijos o sufijos (pan → panadero). En medicina y en electricidad tiene otros sentidos. En matemáticas, derivar una función es calcular su derivada, que es lo que explica esta página.

¿Qué diferencia hay entre derivar e integrar?#

Son operaciones inversas. Derivar va de una magnitud a su ritmo de cambio (de la distancia a la velocidad); integrar va del ritmo de cambio a la magnitud (de la velocidad a la distancia) y calcula áreas bajo curvas.