¿Cuáles son los criterios de divisibilidad del 2 al 12?

Imagina que tienes 234 galletas y quieres meterlas en cajas de 9 sin que sobre ninguna. Podrías hacer la división, pero hay un camino más rápido: suma las cifras. 2 + 3 + 4 = 9, y 9 es divisible entre 9, así que 234 también. (Salen 26 cajas.) Ese atajo es un criterio de divisibilidad.

«Ser divisible entre» significa «dividirse exactamente, con resto 0». 234 es divisible entre 9 porque 234 ÷ 9 = 26 exacto. No es divisible entre 5, porque 234 ÷ 5 da resto 4. También se dice que 234 es múltiplo de 9 y que 9 es divisor de 234.

Los criterios se agrupan en tres familias, y así se recuerdan mejor:

• Mirar las últimas cifras. Para el 2, el 5 y el 10 basta la última cifra, porque 10 es divisible entre los tres. Para el 4 y el 25, las dos últimas, porque 100 es divisible entre 4 y entre 25. Para el 8, las tres últimas, porque 1000 es divisible entre 8.
• Sumar las cifras. El 3 y el 9 usan la suma de las cifras. Funciona porque 10, 100, 1000… son cada uno un múltiplo de 9 más 1 (9, 99, 999), así que un número y la suma de sus cifras dan el mismo resto al dividir entre 3 o entre 9.
• Combinar dos criterios. 6 = 2 · 3, así que se comprueban el 2 y el 3. 12 = 3 · 4, así que se comprueban el 3 y el 4. Solo funciona si los dos números no tienen factores comunes.

Y hay dos especiales: el 11 (restar y sumar las cifras alternadamente) y el 7 (doblar la última cifra y restarla del resto).

Los criterios ayudan con los múltiplos y divisores, a simplificar fracciones y a reconocer los números primos: un número que pasa la prueba del 2, 3, 5, 7 u 11 (y no es ese mismo número) no puede ser primo.

Cuando necesites todos los divisores de un número, recorre los criterios en este orden y apunta los que cumple. Es la forma más rápida de empezar a buscar divisores o a hacer la descomposición en factores primos.

¿Qué son los criterios de divisibilidad?#

Son reglas que permiten saber si un número es divisible entre otro sin hacer la división. Los principales: 2 (termina en par), 3 (sus cifras suman múltiplo de 3), 4 (dos últimas cifras), 5 (termina en 0 o 5), 6 (2 y 3), 8 (tres últimas cifras), 9 (sus cifras suman múltiplo de 9), 10 (termina en 0) y 11 (suma alternada).

¿Cuáles son los criterios de divisibilidad del 1 al 10?#

Todo número es divisible entre 1, así que ese no necesita criterio. Del 2 al 10 son los de la tabla de arriba. El 11 y el 7 tienen criterios propios, explicados abajo.

¿Cuál es el criterio de divisibilidad del 7?#

Separa la última cifra, multiplícala por 2 y réstala del número que forman las demás. Si el resultado es múltiplo de 7 (también 0), el número original también lo es. Para 203: 20 − 6 = 14, así que 203 es divisible entre 7.

¿Cuál es el criterio de divisibilidad del 11?#

Empezando por la derecha, resta y suma las cifras alternadamente (o resta la suma de las cifras de lugar par de la de lugar impar). Si da 0 o un múltiplo de 11, el número es divisible entre 11. Para 2728: 8 − 2 + 7 − 2 = 11, así que sí.

¿Cómo se aprenden y se explican los criterios de divisibilidad?#

Agrupándolos: última cifra para el 2, el 5 y el 10; dos últimas para el 4 y el 25; tres últimas para el 8; suma de cifras para el 3 y el 9; combinaciones para el 6 y el 12.

¿Por qué funciona el criterio del 3?#

Cada valor de posición es un múltiplo de 3 más 1: 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1, etc. Así, 471 = 4 · 99 + 7 · 9 + (4 + 7 + 1). Las dos primeras partes son múltiplos de 3, de modo que 471 es divisible entre 3 justo cuando lo es 4 + 7 + 1.

¿Qué relación tienen con los números primos?#

Para saber si un número es primo, se prueba si es divisible entre los primos 2, 3, 5, 7, 11… Los criterios hacen esa prueba mucho más rápida. Por ejemplo, 91 no es primo: 9 − 2 = 7, así que es divisible entre 7 (91 = 7 · 13).