Quais são os critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 e 11?

Imagine que você tem 234 biscoitos e quer colocá-los em caixas de 9 sem sobrar nenhum. Dá para fazer a conta, mas existe um caminho mais rápido: some os algarismos. 2 + 3 + 4 = 9, e 9 é divisível por 9, então 234 também é. (Dá 26 caixas.) Esse atalho é um critério de divisibilidade.

“Ser divisível por” quer dizer “dividir exatamente, com resto 0”. 234 é divisível por 9 porque 234 ÷ 9 = 26, sem resto. Ele não é divisível por 5, porque 234 ÷ 5 deixa resto 4. Também dizemos que 234 é múltiplo de 9 e que 9 é divisor de 234.

Os critérios se dividem em três famílias, e assim fica mais fácil lembrar:

• Olhar os últimos algarismos. Para 2, 5 e 10 basta o último algarismo, porque 10 é divisível pelos três. Para 4 e 25, os dois últimos, porque 100 é divisível por 4 e por 25. Para 8, os três últimos, porque 1000 é divisível por 8.
• Somar os algarismos. O 3 e o 9 usam a soma dos algarismos. Funciona porque 10, 100, 1000… são cada um um múltiplo de 9 mais 1 (9, 99, 999); assim, um número e a soma dos seus algarismos deixam o mesmo resto na divisão por 3 ou por 9.
• Juntar dois critérios. 6 = 2 · 3, então confira o 2 e o 3. 12 = 3 · 4, então confira o 3 e o 4. Isso só funciona quando os dois números não têm fator comum.

E há dois especiais: o do 11 (subtrair e somar os algarismos alternadamente) e o do 7 (dobrar o último algarismo e subtrair do resto). Pedem um pouco mais de treino, mas poupam muita conta armada.

Os critérios ajudam com múltiplos e divisores, a simplificar frações e a reconhecer números primos: um número que passa no teste do 2, 3, 5, 7 ou 11 (e não é o próprio número) não pode ser primo.

Quando precisar de todos os divisores de um número, passe pelos critérios nessa ordem e anote os que funcionam. É o jeito mais rápido de começar a decomposição em fatores primos.

O que são critérios de divisibilidade na matemática?#

São regras para saber se um número é divisível por outro sem fazer a divisão. Os principais são: por 2 (termina em par), por 3 (soma dos algarismos divisível por 3), por 4 (dois últimos algarismos), por 5 (termina em 0 ou 5), por 6 (2 e 3), por 8 (três últimos), por 9 (soma divisível por 9) e por 10 (termina em 0).

O que é o critério de divisibilidade por 2?#

Um número é divisível por 2 quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8, ou seja, quando é par. Não importa o resto do número: 1.000.006 é divisível por 2, e 999.999 não é.

Qual é o critério de divisibilidade por 7?#

Separe o último algarismo, dobre-o e subtraia do número formado pelos outros. Se o resultado for divisível por 7 (inclusive 0), o número original também é. Para 203: 20 − 6 = 14, então 203 é divisível por 7.

Qual é o critério de divisibilidade por 11?#

Começando pela direita, subtraia e some os algarismos alternadamente. Se der 0 ou um múltiplo de 11, o número é divisível por 11. Para 2728: 8 − 2 + 7 − 2 = 11, então sim.

Como decorar os critérios de divisibilidade?#

Agrupe-os: último algarismo para 2, 5 e 10; dois últimos para 4 e 25; três últimos para 8; soma dos algarismos para 3 e 9; combinações para 6 e 12. Um cartaz na parede com um exemplo de cada um ajuda muito.

Por que o critério do 3 funciona?#

Cada ordem é um múltiplo de 3 mais 1: 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1, e assim por diante. Então 471 = 4 · 99 + 7 · 9 + (4 + 7 + 1). As duas primeiras partes são múltiplas de 3, e por isso 471 é divisível por 3 exatamente quando 4 + 7 + 1 é.