Mathématiques
Comment trouver le PGCD et le PPCM ?
Réponse rapide
Le PGCD de deux nombres est leur plus grand diviseur commun (PGCD de 12 et 18 : 6). Le PPCM est leur plus petit multiple commun (PPCM de 4 et 6 : 12).
En une phrase
Le PGCD de deux nombres est le plus grand nombre qui les divise tous les deux ; le PPCM est le plus petit nombre qui est un multiple des deux.
Explication
Ces deux abréviations viennent de Plus Grand Commun Diviseur et Plus Petit Commun Multiple. Ils s'appuient sur les diviseurs et multiples.
Le PGCD. Écris la liste des diviseurs de chaque nombre, puis cherche le plus grand en commun. Pour 12 et 18 : les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6, 12 ; ceux de 18 sont 1, 2, 3, 6, 9, 18. Les diviseurs communs sont 1, 2, 3 et 6. Le plus grand est 6. Le PGCD sert à simplifier une fraction : 12/18 = 2/3, en divisant par 6. Il sert aussi à partager en parts égales : avec 12 stylos et 18 crayons, on peut faire au plus 6 lots identiques.
Le PPCM. Écris les premiers multiples de chaque nombre, puis cherche le plus petit en commun. Pour 4 et 6 : multiples de 4 : 4, 8, 12, 16... ; multiples de 6 : 6, 12, 18... Le premier en commun est 12. Le PPCM sert à trouver un dénominateur commun pour additionner des fractions, ou à savoir quand deux événements qui se répètent se retrouvent en même temps.
Une autre méthode utilise la décomposition en facteurs premiers : on décompose chaque nombre, puis on multiplie les facteurs communs (pour le PGCD) ou tous les facteurs avec le plus grand exposant (pour le PPCM). C'est plus rapide avec de grands nombres.
bus
horloge
crayon
Exemples
| Nombres | PGCD | PPCM |
|---|---|---|
| 4 et 6 | 2 | 12 |
| 12 et 18 | 6 | 36 |
| 8 et 20 | 4 | 40 |
| 5 et 7 | 1 | 35 |
| 10 et 15 | 5 | 30 |
| 9 et 27 | 9 | 27 |
Erreurs fréquentes
- Confondre PGCD et PPCM. Le PGCD est plus petit (ou égal) que les deux nombres ; le PPCM est plus grand (ou égal).
- S'arrêter au premier diviseur commun trouvé. Cherche bien le plus grand.
- Se tromper dans les multiples. Écris-les en ordre jusqu'à trouver le premier commun.
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Quel est le PGCD de 12 et 18 ?
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