Mathématiques
Que sont les diviseurs et les multiples ?
Réponse rapide
Les diviseurs d'un nombre sont ceux qui le divisent exactement (ceux de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12). Ses multiples sont les nombres de sa table de multiplication (12, 24, 36…).
En une phrase
Un diviseur d'un nombre entre exactement dans ce nombre ; un multiple, c'est ce qu'on obtient en multipliant un nombre par 1, 2, 3 et ainsi de suite.
Explication
Les diviseurs et les multiples sont les deux faces d'un même fait. Comme 3 × 4 = 12 :
- 3 et 4 sont des diviseurs de 12 (ils divisent 12 sans reste).
- 12 est un multiple de 3, et un multiple de 4.
Un truc pour s'en souvenir : les diviseurs sont peu nombreux, les multiples sont une infinité. 12 n'a que six diviseurs (1, 2, 3, 4, 6, 12), mais ses multiples continuent sans fin (12, 24, 36, 48…).
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Pour trouver tous les diviseurs d'un nombre, travaille avec des paires de diviseurs, en commençant par 1. Pour 36 : 1 × 36, 2 × 18, 3 × 12, 4 × 9, 6 × 6. Quand les paires se rejoignent au milieu, tu les as toutes : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 et 36. Un nombre qui a exactement deux diviseurs est un nombre premier.
Les diviseurs et multiples communs servent à résoudre de vrais problèmes.
- Tu as 18 pommes et 24 poires et tu veux préparer des sachets de fruits identiques sans rien laisser de côté. Le plus grand nombre de sachets possible est le plus grand diviseur commun, 6. Chaque sachet reçoit 3 pommes et 4 poires.
- Un bus passe toutes les 4 minutes et un tram toutes les 6. S'ils partent tous les deux maintenant, ils repartent ensemble après le plus petit commun multiple, 12 minutes.
Exemples
| Nombre | Diviseurs | Premiers multiples |
|---|---|---|
| 10 | 1, 2, 5, 10 | 10, 20, 30, 40 |
| 15 | 1, 3, 5, 15 | 15, 30, 45, 60 |
| 16 | 1, 2, 4, 8, 16 | 16, 32, 48, 64 |
| 20 | 1, 2, 4, 5, 10, 20 | 20, 40, 60, 80 |
Le PGCD de 15 et 20 est 5. Le PPCM de 15 et 20 est 60.
Erreurs fréquentes
- Intervertir les mots. « 30 est-il un diviseur de 5 ? » est à l'envers. 5 est un diviseur de 30 ; 30 est un multiple de 5.
- Oublier 1 et le nombre lui-même dans la liste des diviseurs.
- Multiplier pour trouver le PPCM. 4 × 6 = 24 est un multiple commun, mais le plus petit est 12. Astuce : écris les multiples jusqu'à ce qu'ils se rejoignent.
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Sujets liés
Les nombres premiers
Un nombre premier est un nombre entier supérieur à 1 qui n'a que deux diviseurs, 1 et lui-même. Les premiers nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11 et 13.
Les tables de multiplication
Les tables de multiplication sont les listes de résultats de multiplication d'un nombre, comme 3 × 1 = 3 jusqu'à 3 × 10 = 30. Les connaître par cœur accélère presque toutes les maths ensuite.
La multiplication
La multiplication, c'est additionner des groupes égaux plus vite. 4 × 3 veut dire 4 groupes de 3 (ou 3 groupes de 4), soit 12. Le résultat s'appelle le produit.
La division
Diviser, c'est partager en groupes égaux ou chercher combien de groupes tiennent dans un nombre. Le signe est ÷ (ou :), donc 12 ÷ 3 = 4. Le résultat est le quotient.
Les fractions équivalentes
Des fractions équivalentes s'écrivent différemment mais représentent la même quantité, comme 1/2, 2/4 et 4/8. On les obtient en multipliant ou en divisant le haut et le bas par le même nombre.
Les carrés parfaits
Un carré parfait est le résultat d'un nombre entier multiplié par lui-même, comme 4 × 4 = 16. Les premiers carrés parfaits sont 1, 4, 9, 16, 25 et 36.