Mathématiques
Qu'est-ce qu'un nombre premier ?
Réponse rapide
Un nombre premier est un nombre entier supérieur à 1 qui n'a que deux diviseurs, 1 et lui-même. Les premiers nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11 et 13.
En une phrase
Un nombre premier ne peut se diviser exactement que par 1 et par lui-même.
Explication
Prends 12 cubes de construction et essaie de les ranger en rectangle. Tu peux faire 1 rangée de 12, 2 rangées de 6 ou 3 rangées de 4. Beaucoup de possibilités. Maintenant essaie avec 7 cubes. Le seul rectangle est 1 rangée de 7. Les nombres comme 7, qui ne peuvent former qu'une seule ligne, sont premiers.
cubes- cubes
- cubes
- cubes
- cubes
- cubes
- cubes
En langage mathématique, un nombre premier a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Un nombre entier plus grand que 1 qui n'est pas premier, comme 12, est dit composé.
Deux nombres déclenchent des discussions :
- 1 n'est pas premier. Il n'a qu'un seul diviseur, donc il ne respecte pas la règle.
- 2 est premier, et c'est le seul nombre premier pair. Tous les autres nombres pairs sont divisibles par 2.
Les nombres premiers jusqu'à 50 sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 et 47. Cela en fait 15.
Pour tester si un nombre est premier, essaie de le diviser tour à tour par les nombres premiers 2, 3, 5, 7… Tu peux t'arrêter quand le nombre premier que tu essaies, multiplié par lui-même, dépasse ton nombre. Pour 91 : 2 non, 3 non, 5 non, 7 oui (7 × 13). Donc 91 n'est pas premier, même s'il en a l'air.
Les nombres premiers sont les briques de tous les nombres entiers. Chaque nombre composé se décompose en un produit de nombres premiers, d'une seule façon (à l'ordre près). Pour 84 : 84 = 2 × 42 = 2 × 2 × 21 = 2 × 2 × 3 × 7. Un arbre de facteurs est une jolie façon de le dessiner.
Il y a plus de 2 000 ans, le mathématicien grec Euclide a démontré que les nombres premiers ne s'arrêtent jamais. Il n'existe pas de plus grand nombre premier.
Exemples
| Nombre | Diviseurs | Premier ? |
|---|---|---|
| 13 | 1, 13 | oui |
| 21 | 1, 3, 7, 21 | non |
| 29 | 1, 29 | oui |
| 51 | 1, 3, 17, 51 | non |
| 97 | 1, 97 | oui |
Erreurs fréquentes
- Dire que tous les nombres impairs sont premiers. 9, 15, 25 et 27 sont impairs mais pas premiers.
- Appeler 1 un nombre premier. Il ne l'est pas.
- Rater des diviseurs cachés dans des nombres comme 57 (3 × 19) et 91 (7 × 13). Solution : teste avec 3 en additionnant les chiffres (5 + 7 = 12, qui est divisible par 3).
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Sujets liés
Diviseurs et multiples
Les diviseurs d'un nombre sont ceux qui le divisent exactement (ceux de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12). Ses multiples sont les nombres de sa table de multiplication (12, 24, 36…).
La multiplication
La multiplication, c'est additionner des groupes égaux plus vite. 4 × 3 veut dire 4 groupes de 3 (ou 3 groupes de 4), soit 12. Le résultat s'appelle le produit.
Les carrés parfaits
Un carré parfait est le résultat d'un nombre entier multiplié par lui-même, comme 4 × 4 = 16. Les premiers carrés parfaits sont 1, 4, 9, 16, 25 et 36.
La division
Diviser, c'est partager en groupes égaux ou chercher combien de groupes tiennent dans un nombre. Le signe est ÷ (ou :), donc 12 ÷ 3 = 4. Le résultat est le quotient.
PGCD et PPCM
Le PGCD de deux nombres est leur plus grand diviseur commun (PGCD de 12 et 18 : 6). Le PPCM est leur plus petit multiple commun (PPCM de 4 et 6 : 12).
La décomposition en facteurs premiers
Décomposer un nombre en facteurs premiers, c'est l'écrire comme un produit de nombres premiers. Par exemple, 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5.