Mathématiques
Comment décomposer un nombre en facteurs premiers ?
Réponse rapide
Décomposer un nombre en facteurs premiers, c'est l'écrire comme un produit de nombres premiers. Par exemple, 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5.
En une phrase
La décomposition en facteurs premiers consiste à écrire un nombre comme un produit de nombres premiers, et cette écriture est unique.
Explication
Un nombre premier est un nombre qui n'a que deux diviseurs : 1 et lui-même (2, 3, 5, 7, 11, 13...). Tout nombre entier plus grand que 1 est soit premier, soit un produit de nombres premiers. Cette décomposition est comme la « carte d'identité » du nombre : il n'y en a qu'une.
Méthode de l'arbre. On casse le nombre en un produit de deux nombres, puis on recommence jusqu'à n'avoir que des nombres premiers. Pour 60 :
Étape par étape
- Commence par le plus petit nombre premier qui divise60 = 2 × 30.
- Continue avec 3030 = 2 × 15.
- Continue avec 1515 = 3 × 5. Il est devenu un produit de deux nombres premiers.
- Rassemble60 = 2 × 2 × 3 × 5, qu'on écrit avec une puissance : 60 = 2² × 3 × 5.
Méthode de la division. On divise le nombre par 2 tant que c'est possible, puis par 3, puis par 5, 7, etc. Pour 84 : 84 ÷ 2 = 42, 42 ÷ 2 = 21, 21 ÷ 3 = 7, 7 ÷ 7 = 1. Donc 84 = 2 × 2 × 3 × 7 = 2² × 3 × 7.
Cette décomposition sert à trouver le PGCD et le PPCM, à simplifier des fractions et à comprendre la structure des nombres. Quelques repères pour tester la divisibilité : par 2 si le nombre est pair, par 3 si la somme des chiffres est un multiple de 3, par 5 s'il finit par 0 ou 5.
crayon
cahier
arbre
Exemples
| Nombre | Décomposition | Notation avec puissances |
|---|---|---|
| 12 | 2 × 2 × 3 | 2² × 3 |
| 30 | 2 × 3 × 5 | 2 × 3 × 5 |
| 36 | 2 × 2 × 3 × 3 | 2² × 3² |
| 60 | 2 × 2 × 3 × 5 | 2² × 3 × 5 |
| 84 | 2 × 2 × 3 × 7 | 2² × 3 × 7 |
| 17 | 17 | 17 (premier) |
Erreurs fréquentes
- S'arrêter à un facteur qui n'est pas premier. 12 = 3 × 4 n'est pas fini, car 4 = 2 × 2.
- Oublier un facteur. Vérifie en multipliant : 2 × 2 × 3 × 5 = 60.
- Croire que 1 est premier. 1 n'a qu'un diviseur, donc il n'est pas premier.
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Comment s'écrit 12 comme produit de nombres premiers ?
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Les nombres premiers
Un nombre premier est un nombre entier supérieur à 1 qui n'a que deux diviseurs, 1 et lui-même. Les premiers nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11 et 13.
Diviseurs et multiples
Les diviseurs d'un nombre sont ceux qui le divisent exactement (ceux de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12). Ses multiples sont les nombres de sa table de multiplication (12, 24, 36…).
PGCD et PPCM
Le PGCD de deux nombres est leur plus grand diviseur commun (PGCD de 12 et 18 : 6). Le PPCM est leur plus petit multiple commun (PPCM de 4 et 6 : 12).
Les puissances et les exposants
Une puissance s'écrit avec un petit nombre en haut, l'exposant, qui dit combien de fois on multiplie un nombre par lui-même. Ainsi 2⁴ veut dire 2 × 2 × 2 × 2 = 16.
L'écriture scientifique
L'écriture scientifique écrit un nombre sous la forme a × 10ⁿ, avec a compris entre 1 et 10 (10 exclu). Par exemple, 5 000 s'écrit 5 × 10³ et 0,004 s'écrit 4 × 10⁻³.
Les racines carrées
La racine carrée d'un nombre est la valeur qui, multipliée par elle-même, donne ce nombre. La racine carrée de 25 est 5, car 5 × 5 = 25. Le signe est √.