Mathématiques
Que sont les puissances et les exposants ?
Réponse rapide
Une puissance s'écrit avec un petit nombre en haut, l'exposant, qui dit combien de fois on multiplie un nombre par lui-même. Ainsi 2⁴ veut dire 2 × 2 × 2 × 2 = 16.
En une phrase
Une puissance dit combien de copies d'un nombre il faut multiplier ensemble, donc 5³ = 5 × 5 × 5 = 125.
Explication
Écrire 3 × 3 × 3 × 3 × 3 est fatigant. À la place, on écrit 3⁵. Le grand nombre, 3, est la base. Le petit nombre en haut, 5, est l'exposant. On lit « 3 puissance 5 » ou « 3 exposant 5 ».
- 4² = 4 × 4 = 16 (« quatre au carré », voir les carrés)
- 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 (« quatre au cube »)
- 4⁴ = 256 (« quatre puissance quatre »)
fusée
planète
Les puissances grandissent à toute vitesse. Plie une feuille de papier en deux : elle fait 2 épaisseurs. Plie encore : 4. Après 10 pliages, elle ferait 2¹⁰ = 1 024 épaisseurs. Ce doublement explique pourquoi les ordinateurs comptent en puissances de 2 (1 kilooctet valait traditionnellement 2¹⁰ octets).
Les puissances de 10 sont liées à la valeur de position : 10² = 100, 10³ = 1 000, 10⁶ = 1 000 000.
Les règles de calcul (pour la même base) :
| Règle | Exemple |
|---|---|
| Multiplier : on additionne les exposants | 2³ × 2⁴ = 2⁷ |
| Diviser : on soustrait les exposants | 5⁶ ÷ 5² = 5⁴ |
| Puissance d'une puissance : on multiplie | (3²)³ = 3⁶ |
| Exposant zéro | 9⁰ = 1 |
| Exposant négatif : l'inverse | 2⁻³ = 1/2³ = 1/8 |
Pourquoi 9⁰ = 1 ? Regarde la suite 9³ = 729, 9² = 81, 9¹ = 9. À chaque étape, on divise par 9. Un pas de plus donne 9 ÷ 9 = 1.
Les puissances passent tôt dans les priorités opératoires : dans 2 + 3², on calcule la puissance d'abord, ce qui donne 2 + 9 = 11.
Exemples
- 6² = 36
- 2³ = 8
- 1⁵⁰ = 1
- (−2)³ = −8
- 3 × 10⁵ = 300 000
- x² × x³ = x⁵
Erreurs fréquentes
- Multiplier la base par l'exposant. 3⁴ vaut 81, pas 12.
- Additionner des exposants avec des bases différentes. 2³ × 5² ne peut pas se réunir en une seule puissance.
- Oublier les parenthèses avec les nombres négatifs. −3² veut dire −(3²) = −9, mais (−3)² = 9. Les parenthèses comptent.
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