Mathématiques
Qu'est-ce qu'une racine carrée ?
Réponse rapide
La racine carrée d'un nombre est la valeur qui, multipliée par elle-même, donne ce nombre. La racine carrée de 25 est 5, car 5 × 5 = 25. Le signe est √.
En une phrase
Une racine carrée annule l'élévation au carré : elle demande « quel nombre multiplié par lui-même donne celui-ci ? »
Explication
Tu sais que 6 × 6 = 36, donc 36 est un carré parfait. En faisant le chemin inverse, la racine carrée de 36 est 6. On écrit √36 = 6. Le signe en forme de crochet s'appelle le signe radical.
Imagine un tapis carré. Si tu sais que son aire est de 49 m², la racine carrée te donne la longueur d'un côté : √49 = 7 m. C'est de là que vient le nom : la racine est le côté du carré.
paillasson
Pour les carrés parfaits, la racine est un nombre entier :
| Nombre | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 144 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| √ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 12 |
La plupart des nombres ne sont pas des carrés parfaits, et leurs racines sont de longs nombres décimaux qui ne s'arrêtent jamais ni ne se répètent. √2 = 1,41421…, par exemple. Tu peux quand même les estimer avec les carrés que tu connais. Pour √30 : 5² = 25 et 6² = 36, donc √30 est entre 5 et 6, un peu plus près de 5. Une calculatrice donne 5,477…
À proprement parler, tout nombre positif a deux racines carrées, car (−6) × (−6) = 36 aussi. Le signe √ désigne la positive. Pour résoudre x² = 36, les plus grands écrivent x = 6 ou x = −6 (souvent noté ±6).
Il existe aussi d'autres racines. La racine cubique ∛ annule l'élévation au cube : ∛64 = 4 car 4 × 4 × 4 = 64.
Les racines carrées sont essentielles pour le théorème de Pythagore, où l'on termine souvent en cherchant une racine.
Exemples
- √9 = 3
- √100 = 10
- √400 = 20 (car 20 × 20 = 400)
- √0,25 = 0,5 (car 0,5 × 0,5 = 0,25)
- √20 vaut environ 4,47 (entre 4 et 5)
- ∛125 = 5
Erreurs fréquentes
- Prendre la moitié au lieu de la racine. √16 vaut 4, pas 8. Solution : vérifie en multipliant ta réponse par elle-même.
- Croire que √ d'un grand nombre est toujours un nombre décimal. √10 000 = 100 exactement.
- Additionner les racines comme des nombres ordinaires. √9 + √16 = 3 + 4 = 7, mais √25 = 5. On ne peut pas simplement additionner sous le signe racine.
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Les racines carrées
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Exercices sur les racines carrées et les puissances
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Sujets liés
Les carrés parfaits
Un carré parfait est le résultat d'un nombre entier multiplié par lui-même, comme 4 × 4 = 16. Les premiers carrés parfaits sont 1, 4, 9, 16, 25 et 36.
Les puissances et les exposants
Une puissance s'écrit avec un petit nombre en haut, l'exposant, qui dit combien de fois on multiplie un nombre par lui-même. Ainsi 2⁴ veut dire 2 × 2 × 2 × 2 = 16.
Le théorème de Pythagore
Le théorème de Pythagore dit que dans un triangle rectangle, a² + b² = c², où c est le côté le plus long (l'hypoténuse). Pour des côtés de 3 et 4, l'hypoténuse mesure 5.
L'estimation
Estimer, c'est trouver une réponse approchée raisonnable, en général en arrondissant les nombres d'abord. Cela donne un ordre de grandeur et aide à repérer les erreurs.
Nombres au cube et racine cubique
Mettre un nombre au cube, c'est le multiplier trois fois par lui-même, par exemple 4³ = 4 × 4 × 4 = 64. La racine cubique fait l'inverse, donc ∛64 = 4.
Les radicaux (racines non exactes)
Un radical est une racine, comme √2 ou ∛5. Quand elle ne tombe pas juste, on la garde sous le radical pour rester exact, et on la simplifie avec √(ab) = √a × √b : √12 = 2√3.