Mathématiques
Qu'est-ce que le théorème de Pythagore ?
Réponse rapide
Le théorème de Pythagore dit que dans un triangle rectangle, a² + b² = c², où c est le côté le plus long (l'hypoténuse). Pour des côtés de 3 et 4, l'hypoténuse mesure 5.
En une phrase
Le théorème de Pythagore relie les trois côtés d'un triangle rectangle : les carrés des deux côtés les plus courts, additionnés, égalent le carré du côté le plus long.
Explication
Tout triangle rectangle a un côté spécial, l'hypoténuse. C'est le côté opposé à l'angle droit, et c'est toujours le plus long. Appelle a et b les deux côtés les plus courts, et c l'hypoténuse. Alors :
a² + b² = c²
maison
règle
L'exemple le plus célèbre est un triangle de côtés 3, 4 et 5. Vérifie : 3² + 4² = 9 + 16 = 25, et 5² = 25. ✓
On peut se l'imaginer avec des carrés. Dessine un carré sur chaque côté du triangle. L'aire du grand carré sur l'hypoténuse est égale à la somme des aires des deux petits carrés : 9 + 16 = 25.
Trouver l'hypoténuse. Élève au carré les deux côtés courts, additionne, puis prends la racine carrée. Une rampe monte de 5 m sur une distance au sol de 12 m. Sa longueur est √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13 m.
Trouver un côté plus court. Élève au carré les deux côtés que tu connais, soustrais, puis prends la racine carrée. Une échelle de 10 m atteint 8 m de haut sur un mur. À quelle distance du mur est son pied ? √(10² − 8²) = √(100 − 64) = √36 = 6 m.
Vérifier un angle droit. Si a² + b² = c² fonctionne pour trois côtés, le triangle a un angle droit. Les bâtisseurs ont utilisé la règle 3-4-5 avec des cordes et des mètres pour tracer des angles droits.
Le théorème porte le nom de Pythagore, un penseur grec qui vivait il y a environ 2 500 ans, mais de plus anciennes tablettes d'argile de la Babylone antique montrent qu'on connaissait ces triangles spéciaux plus de 1 000 ans avant lui.
Exemples
| a | b | c (hypoténuse) |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 1 | 1 | √2 ≈ 1,41 |
| 7 | 24 | 25 |
Les ensembles de nombres entiers comme 3, 4, 5 s'appellent des triplets pythagoriciens. Multiplie-en un par n'importe quel nombre et tu en obtiens un autre : 6, 8, 10.
Erreurs fréquentes
- Additionner quand il faut soustraire. Si tu connais l'hypoténuse, soustrais pour trouver un côté court.
- Oublier la racine carrée à la fin, et donner 169 au lieu de 13.
- L'utiliser dans un triangle sans angle droit. Il ne marche que pour les triangles rectangles.
- Élever la somme au carré : (3 + 4)² = 49 n'est pas 3² + 4² = 25.
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Le théorème de Pythagore
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Question 1 sur 4
Un triangle rectangle a des côtés de l'angle droit de 6 cm et 8 cm. Combien mesure l'hypoténuse ?
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