Mathématiques
Qu'est-ce que le théorème de Pythagore ?
Réponse rapide
Le théorème de Pythagore dit que dans un triangle rectangle, a² + b² = c², où c est le côté le plus long (l'hypoténuse). Pour des côtés de 3 et 4, l'hypoténuse mesure 5.
En une phrase
Le théorème de Pythagore relie les trois côtés d'un triangle rectangle : les carrés des deux côtés les plus courts, additionnés, égalent le carré du côté le plus long.
Explication
Tout triangle rectangle a un côté spécial, l'hypoténuse. C'est le côté opposé à l'angle droit, et c'est toujours le plus long. Appelle a et b les deux côtés les plus courts, et c l'hypoténuse. Alors :
a² + b² = c²
maison
règle
L'exemple le plus célèbre est un triangle de côtés 3, 4 et 5. Vérifie : 3² + 4² = 9 + 16 = 25, et 5² = 25. ✓
On peut se l'imaginer avec des carrés. Dessine un carré sur chaque côté du triangle. L'aire du grand carré sur l'hypoténuse est égale à la somme des aires des deux petits carrés : 9 + 16 = 25.
Trouver l'hypoténuse. Élève au carré les deux côtés courts, additionne, puis prends la racine carrée. Une rampe monte de 5 m sur une distance au sol de 12 m. Sa longueur est √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13 m.
Trouver un côté plus court. Élève au carré les deux côtés que tu connais, soustrais, puis prends la racine carrée. Une échelle de 10 m atteint 8 m de haut sur un mur. À quelle distance du mur est son pied ? √(10² − 8²) = √(100 − 64) = √36 = 6 m.
Vérifier un angle droit. Si a² + b² = c² fonctionne pour trois côtés, le triangle a un angle droit. Les bâtisseurs ont utilisé la règle 3-4-5 avec des cordes et des mètres pour tracer des angles droits.
Le théorème porte le nom de Pythagore, un penseur grec qui vivait il y a environ 2 500 ans, mais de plus anciennes tablettes d'argile de la Babylone antique montrent qu'on connaissait ces triangles spéciaux plus de 1 000 ans avant lui.
Exemples
| a | b | c (hypoténuse) |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 1 | 1 | √2 ≈ 1,41 |
| 7 | 24 | 25 |
Les ensembles de nombres entiers comme 3, 4, 5 s'appellent des triplets pythagoriciens. Multiplie-en un par n'importe quel nombre et tu en obtiens un autre : 6, 8, 10.
Erreurs fréquentes
- Additionner quand il faut soustraire. Si tu connais l'hypoténuse, soustrais pour trouver un côté court.
- Oublier la racine carrée à la fin, et donner 169 au lieu de 13.
- L'utiliser dans un triangle sans angle droit. Il ne marche que pour les triangles rectangles.
- Élever la somme au carré : (3 + 4)² = 49 n'est pas 3² + 4² = 25.
Mini-quiz
Le théorème de Pythagore
Vérifie ce que tu sais avec 4 questions rapides.
Question 1 sur 4
Un triangle rectangle a des côtés de l'angle droit de 6 cm et 8 cm. Combien mesure l'hypoténuse ?
S’entraîner
À toi de jouer
Exercices de géométrie et de Pythagore
Pour les adultes
Sujets liés
Les carrés parfaits
Un carré parfait est le résultat d'un nombre entier multiplié par lui-même, comme 4 × 4 = 16. Les premiers carrés parfaits sont 1, 4, 9, 16, 25 et 36.
Les racines carrées
La racine carrée d'un nombre est la valeur qui, multipliée par elle-même, donne ce nombre. La racine carrée de 25 est 5, car 5 × 5 = 25. Le signe est √.
Les angles
Un angle mesure l'écart entre deux droites qui se rencontrent en un point. On le mesure en degrés (°) : un angle droit fait 90° et un tour complet 360°.
L'aire
L'aire est la quantité de surface plate à l'intérieur d'une figure, mesurée en unités carrées comme cm² ou m². Un rectangle de 4 cm sur 3 cm a une aire de 4 × 3 = 12 cm².
Le nombre pi (π)
Le nombre pi (π) est ce qu'on obtient en divisant la circonférence de n'importe quel cercle par son diamètre. Il vaut environ 3,14 et ses décimales continuent sans fin, sans se répéter.
Les coordonnées
Les coordonnées sont deux nombres qui donnent la position exacte d'un point sur un quadrillage, comme (3 ; 5). Le premier dit de combien on avance vers la droite (x), le second de combien on monte.