Mathématiques
Quelle est l'équation d'un cercle, et comment la trouver ?
Réponse rapide
Dans un repère orthonormé, le cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon r a pour équation (x − a)² + (y − b)² = r². Si le centre est l'origine, c'est x² + y² = r².
En une phrase
L'équation d'un cercle est la condition que vérifie chaque point M(x ; y) du cercle : sa distance au centre est toujours égale au rayon, ce qui donne (x − a)² + (y − b)² = r².
Explication
Un cercle est l'ensemble des points situés à la même distance, le rayon r, d'un point fixe, le centre. Dans un repère orthonormé, cette phrase devient une équation.
horloge
crayon
règle
Équation du cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon r :
(x − a)² + (y − b)² = r²
D'où vient-elle ? Un point M(x ; y) est sur le cercle si et seulement si ΩM = r, c'est-à-dire ΩM² = r². Avec la formule de la distance dans un repère orthonormé, ΩM² = (x − a)² + (y − b)². C'est le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle de côtés x − a et y − b.
Le cas le plus important est le cercle de centre O, l'origine : a = 0 et b = 0, donc
x² + y² = r²
Par exemple, x² + y² = 25 est le cercle de centre O et de rayon 5. Il passe par (5 ; 0), (0 ; 5), (−5 ; 0), (0 ; −5) et aussi par (3 ; 4), car 3² + 4² = 25. Le cercle de centre O et de rayon 1, x² + y² = 1, est le cercle trigonométrique.
Lire l'équation. Les signes dans les parenthèses sont les opposés des coordonnées du centre : (x − 2)² donne a = 2, mais (x + 2)² = (x − (−2))² donne a = −2. Et le nombre de droite est r², pas r : on prend la racine carrée pour obtenir le rayon.
Intérieur, sur le cercle ou extérieur ? Remplace x et y par les coordonnées d'un point dans le membre de gauche. Si tu trouves exactement r², le point est sur le cercle ; moins que r², à l'intérieur ; plus, à l'extérieur.
Forme développée. En développant les carrés, on obtient une équation du type x² + y² + αx + βy + γ = 0. Pour retrouver le centre et le rayon, on écrit x² + αx et y² + βy sous forme canonique. Le centre est (−α/2 ; −β/2) et r² = (α/2)² + (β/2)² − γ. Si ce nombre est négatif, l'équation n'est pas celle d'un cercle (aucun point ne la vérifie).
Exemples
| Centre | Rayon | Équation |
|---|---|---|
| (0 ; 0) | 3 | x² + y² = 9 |
| (2 ; 5) | 4 | (x − 2)² + (y − 5)² = 16 |
| (−3 ; 1) | 6 | (x + 3)² + (y − 1)² = 36 |
| (4 ; −2) | √7 | (x − 4)² + (y + 2)² = 7 |
| (0 ; −5) | 1 | x² + (y + 5)² = 1 |
Exemple corrigé 1 (centre et un point) : trouver le cercle de centre Ω(−1 ; 2) passant par A(5 ; 10). Le rayon est ΩA : ΩA² = (5 − (−1))² + (10 − 2)² = 36 + 64 = 100. L'équation est (x + 1)² + (y − 2)² = 100, et r = 10.
Exemple corrigé 2 (forme développée) : trouver le centre et le rayon de x² + y² − 4x + 6y − 3 = 0. On regroupe : (x² − 4x) + (y² + 6y) = 3, donc (x − 2)² − 4 + (y + 3)² − 9 = 3, soit (x − 2)² + (y + 3)² = 16. Centre (2 ; −3), rayon 4.
Erreurs fréquentes
- Se tromper de signe pour le centre. (x + 3)² + (y − 1)² = 36 a pour centre (−3 ; 1), pas (3 ; −1). Astuce : écris (x − (−3))².
- Oublier d'élever le rayon au carré. Pour un rayon 6, on écrit … = 36, pas … = 6.
- Donner r² comme rayon. Pour x² + y² = 49, le rayon vaut √49 = 7, pas 49.
- Mal écrire la forme canonique. x² − 4x = (x − 2)² − 4 : n'oublie pas le « − 4 », sinon l'égalité n'est plus vraie.
Étape par étape
Étape par étape
- Trouver le centreLis-le dans l'énoncé, ou prends le milieu du diamètre si on connaît ses deux extrémités.
- Trouver r²Utilise le rayon donné, ou le carré de la distance du centre à un point du cercle.
- RemplacerÉcris (x − a)² + (y − b)² = r² avec les valeurs trouvées.
- VérifierRemplace par les coordonnées d'un point connu du cercle : l'égalité doit être vraie.
- Depuis la forme développéeRegroupe les termes en x et en y, passe à la forme canonique, puis lis le centre et le rayon.
La tangente à un cercle en un point est perpendiculaire au rayon en ce point. Cela permet de trouver son équation, comme dans l'exercice 16.
Exercices
Équation d'un cercle
Fais chaque exercice, puis vérifie ta réponse.
- Écris une équation du cercle de centre O(0 ; 0) et de rayon 5.
Voir la réponse
x² + y² = 25 - Écris une équation du cercle de centre (2 ; 3) et de rayon 4.
Voir la réponse
(x − 2)² + (y − 3)² = 16 - Écris une équation du cercle de centre (−1 ; 4) et de rayon 3.
Voir la réponse
(x + 1)² + (y − 4)² = 9 - Donne le centre et le rayon du cercle (x − 5)² + (y + 2)² = 49.
Voir la réponse
Centre (5 ; −2), rayon 7 - Donne le centre et le rayon du cercle x² + (y − 1)² = 10.
Voir la réponse
Centre (0 ; 1), rayon √10 ≈ 3,16 - Le point (3 ; 4) est-il sur le cercle x² + y² = 25 ?
Voir la réponse
3² + 4² = 9 + 16 = 25 : oui - Le point (1 ; 2) est-il à l'intérieur, sur ou à l'extérieur du cercle (x − 4)² + (y − 6)² = 16 ?
Voir la réponse
(1 − 4)² + (2 − 6)² = 9 + 16 = 25 > 16 : à l'extérieur - Un cercle a pour centre (1 ; −2) et passe par (4 ; 2). Trouve son équation.
Voir la réponse
r² = 3² + 4² = 25 : (x − 1)² + (y + 2)² = 25 - Les extrémités d'un diamètre sont (−2 ; 1) et (6 ; 7). Trouve l'équation du cercle.
Voir la réponse
Centre = milieu (2 ; 4) ; r² = (6 − 2)² + (7 − 4)² = 16 + 9 = 25 : (x − 2)² + (y − 4)² = 25 - Donne le centre et le rayon de x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0.
Voir la réponse
(x − 3)² − 9 + (y + 2)² − 4 − 12 = 0, donc (x − 3)² + (y + 2)² = 25 : centre (3 ; −2), rayon 5 - Donne le centre et le rayon de x² + y² + 8x − 2y + 8 = 0.
Voir la réponse
(x + 4)² − 16 + (y − 1)² − 1 + 8 = 0, donc (x + 4)² + (y − 1)² = 9 : centre (−4 ; 1), rayon 3 - Développe (x − 2)² + (y + 5)² = 9.
Voir la réponse
x² − 4x + 4 + y² + 10y + 25 − 9 = 0 : x² + y² − 4x + 10y + 20 = 0 - Où le cercle (x − 3)² + (y − 1)² = 25 coupe-t-il l'axe des ordonnées ?
Voir la réponse
Avec x = 0 : 9 + (y − 1)² = 25, donc (y − 1)² = 16 et y − 1 = ±4 : (0 ; 5) et (0 ; −3) - L'équation x² + y² + 2x + 4y + 10 = 0 est-elle celle d'un cercle ?
Voir la réponse
(x + 1)² + (y + 2)² = 1 + 4 − 10 = −5. Une somme de carrés ne peut pas être négative : non. - Trouve le cercle passant par (0 ; 0), (6 ; 0) et (0 ; 8).
Voir la réponse
Dans x² + y² + αx + βy + γ = 0 : (0 ; 0) donne γ = 0 ; (6 ; 0) donne 36 + 6α = 0, α = −6 ; (0 ; 8) donne 64 + 8β = 0, β = −8. D'où x² + y² − 6x − 8y = 0 : (x − 3)² + (y − 4)² = 25 - Trouve la tangente au cercle x² + y² = 25 au point (3 ; 4).
Voir la réponse
Le rayon vers (3 ; 4) a pour coefficient directeur 4/3, donc la tangente a pour coefficient directeur −3/4 : y − 4 = −¾(x − 3), soit 3x + 4y = 25
Problèmes
Des cercles sur un plan
Fais chaque exercice, puis vérifie ta réponse.
- Une antenne en (0 ; 0) couvre tout ce qui est à 8 km ou moins. Écris l'équation du bord de la zone couverte. Une maison en (5 ; 6) (en km) est-elle couverte ?
Voir la réponse
x² + y² = 64 ; 5² + 6² = 61 < 64, la maison est à l'intérieur : oui, elle est couverte. - Un arroseur en (3 ; 2) arrose jusqu'à 4 m. Écris l'équation du bord de la zone arrosée. Atteint-il un rosier en (6 ; 6) ?
Voir la réponse
(x − 3)² + (y − 2)² = 16 ; (6 − 3)² + (6 − 2)² = 9 + 16 = 25 > 16 : non (le rosier est à 5 m). - Sur un plan en mètres, le bord d'un bassin rond a pour équation x² + y² − 10x − 8y + 32 = 0. Trouve le centre et le rayon du bassin.
Voir la réponse
(x − 5)² + (y − 4)² = 25 + 16 − 32 = 9 : centre (5 ; 4), rayon 3 m - Une grande roue a son centre à 20 m du sol et un rayon de 18 m. En prenant le sol comme axe des abscisses et le centre en (0 ; 20), écris son équation et trouve la hauteur de la nacelle la plus basse.
Voir la réponse
x² + (y − 20)² = 324 ; point le plus bas 20 − 18 = 2 m au-dessus du sol. - Une chèvre est attachée à un piquet en (2 ; −1) par une corde de 5 m. Peut-elle atteindre une carotte en (5 ; 3) ?
Voir la réponse
(5 − 2)² + (3 + 1)² = 9 + 16 = 25 = 5² : la carotte est exactement sur le bord, oui, tout juste.
Questions fréquentes
C'est quoi l'équation d'un cercle ?
C'est une égalité vérifiée par les coordonnées de tous les points du cercle, et seulement par eux. Pour le centre Ω(a ; b) et le rayon r : (x − a)² + (y − b)² = r². On dit « une » équation, car on peut l'écrire de plusieurs façons (forme développée, multipliée par un nombre…).
Quelle est l'équation d'un cercle de centre O et de rayon r ?
x² + y² = r². Avec r = 1, on obtient x² + y² = 1, le cercle trigonométrique.
Comment trouver l'équation d'un cercle avec 2 points ?
Si les deux points A et B sont les extrémités d'un diamètre, le centre est le milieu de [AB] et le rayon AB/2. En première, on utilise aussi le produit scalaire : M est sur le cercle de diamètre [AB] si et seulement si MA·MB = 0 (vecteurs). Avec seulement deux points du cercle, il y a une infinité de cercles possibles.
Comment trouver l'équation d'un cercle avec 3 points ?
Remplace chaque point dans x² + y² + αx + βy + γ = 0 : tu obtiens un système de trois équations à trois inconnues. Résous-le, puis passe à la forme canonique. Autre méthode : le centre est le point d'intersection des médiatrices de deux cordes.
Peut-on trouver l'aire à partir de l'équation ?
Oui : on lit r, puis aire = πr² et périmètre = 2πr. Pour x² + y² = 25, r = 5 : l'aire vaut 25π ≈ 78,5 unités d'aire et le périmètre 10π ≈ 31,4 unités.
Et dans l'espace ?
L'équation (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = r² décrit une sphère, pas un cercle. Dans l'espace, un cercle s'obtient par exemple comme l'intersection d'une sphère et d'un plan.
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Équation d'un cercle
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Question 1 sur 4
Quels sont le centre et le rayon du cercle (x − 3)² + (y + 4)² = 36 ?
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