Que sont les angles alternes-internes, correspondants et opposés par le sommet ?

Imagine une route qui traverse une voie ferrée : les deux rails sont des droites parallèles (elles ne se coupent jamais) et la route est une sécante, une droite qui coupe les deux. À chaque rail, la route forme quatre angles : huit en tout.

Numérote-les ainsi. La sécante penche vers la droite, comme le trait /. Au croisement du haut : 1 en haut à gauche, 2 en haut à droite, 3 en bas à gauche, 4 en bas à droite. Au croisement du bas, de la même façon : 5 en haut à gauche, 6 en haut à droite, 7 en bas à gauche, 8 en bas à droite.

Comme les droites sont parallèles, la sécante les coupe avec la même inclinaison. Le croisement du bas est donc une copie exacte de celui du haut, et les huit angles n'ont que deux mesures : les petits (aigus) 2, 3, 6, 7 et les grands (obtus) 1, 4, 5, 8. Un petit angle et un grand angle côte à côte forment un angle plat : ils sont supplémentaires, leur somme fait 180°.

Les propriétés à connaître :

• Angles opposés par le sommet : ils se font face là où deux droites se coupent, comme 1 et 4 ou 2 et 3. Ils sont toujours égaux, même sans parallèles.
• Angles correspondants : ils sont à la même place à chaque croisement, comme 1 et 5 ou 3 et 7. Ils dessinent un F. Si les droites sont parallèles, ils sont égaux.
• Angles alternes-internes : ils sont entre les deux droites, de part et d'autre de la sécante, comme 3 et 6 ou 4 et 5. Ils dessinent un Z. Si les droites sont parallèles, ils sont égaux. Les angles alternes-externes (1 et 8, 2 et 7) sont à l'extérieur des deux droites ; ils sont égaux eux aussi.
• Deux angles entre les parallèles, du même côté de la sécante, comme 3 et 5 ou 4 et 6, dessinent un C : ils sont supplémentaires (somme 180°).

Pourquoi deux angles opposés par le sommet sont-ils égaux ? Les angles 1 et 2 forment un angle plat, donc 1 + 2 = 180°. Les angles 2 et 4 aussi, donc 2 + 4 = 180°. Les deux sommes contiennent l'angle 2, donc l'angle 1 = l'angle 4.

Ces propriétés marchent aussi dans l'autre sens (la réciproque) : si deux angles alternes-internes ou deux angles correspondants sont égaux, alors les droites sont parallèles. C'est ainsi qu'on démontre que deux droites sont parallèles. Pour revoir les sortes d'angles et l'angle plat, va voir la page sur les angles.

Astuce : avec une sécante et deux parallèles, tous les angles aigus ont la même mesure, tous les angles obtus aussi, et aigu + obtus = 180°.

C'est quoi deux angles alternes-internes ?#

Ce sont deux angles formés par deux droites et une sécante, situés entre les deux droites et de part et d'autre de la sécante, sans avoir le même sommet (3 et 6, 4 et 5). Ils forment un Z.

Comment reconnaître deux angles correspondants ?#

Ils sont du même côté de la sécante et à la même position à chaque croisement : tous les deux « en haut à gauche », par exemple. Ils forment un F, qui peut être à l'envers ou couché.

Quelle est la propriété des angles correspondants ?#

Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, les angles correspondants sont égaux. Réciproque : si deux angles correspondants sont égaux, les droites sont parallèles. C'est la même chose pour les angles alternes-internes.

Comment démontrer que deux angles opposés par le sommet sont égaux ?#

Chacun forme un angle plat (180°) avec le même angle voisin. Ils mesurent donc tous les deux 180° moins cet angle : ils sont égaux.

Quelle différence entre angles alternes-internes et alternes-externes ?#

Les alternes-internes sont entre les deux droites, les alternes-externes à l'extérieur (1 et 8, 2 et 7). Dans les deux cas ils sont de part et d'autre de la sécante, et égaux si les droites sont parallèles.

C'est quoi des angles supplémentaires et complémentaires ?#

Deux angles sont supplémentaires si leur somme fait 180°, complémentaires si elle fait 90°. Avec deux parallèles, un angle aigu et un angle obtus de la figure sont toujours supplémentaires.