Mathématiques
Comment calculer l'aire d'un trapèze ?
Réponse rapide
On additionne les deux bases, on multiplie par la hauteur et on divise par 2 : A = (B + b) × h ÷ 2. Avec des bases de 6 cm et 4 cm et une hauteur de 3 cm, A = 15 cm².
En une phrase
Pour calculer l'aire d'un trapèze, on additionne la grande base et la petite base, on multiplie par la hauteur et on divise par 2.
Explication
Un trapèze est un quadrilatère qui a deux côtés parallèles. Ces deux côtés s'appellent les bases : la grande base B et la petite base b. La hauteur h est la distance entre les deux bases, mesurée perpendiculairement, c'est-à-dire en formant un angle droit avec elles.
seau
règle
crayon
La formule est
A = (B + b) × h ÷ 2
Comme B, b et h sont des longueurs, l'aire s'exprime en unités carrées : cm², m², mm².
D'où vient-elle ? Prends deux trapèzes identiques et fais tourner l'un d'un demi-tour. Accolés, ils forment un parallélogramme. Sa base mesure B + b et sa hauteur h, donc son aire vaut (B + b) × h. Un trapèze en est exactement la moitié : (B + b) × h ÷ 2.
Autre façon de voir : (B + b) ÷ 2 est la largeur moyenne du trapèze. Largeur moyenne × hauteur donne l'aire, comme longueur × largeur pour un rectangle. Si les deux bases étaient égales, on aurait un parallélogramme d'aire B × h. Si la petite base se réduisait à un point, on aurait un triangle d'aire B × h ÷ 2, comme pour l'aire d'un triangle.
Il existe plusieurs sortes de trapèzes, et la formule est la même pour tous :
- Trapèze rectangle : il a deux angles droits. Le côté perpendiculaire aux bases est la hauteur.
- Trapèze isocèle : les deux côtés non parallèles sont égaux et la figure a un axe de symétrie. Si tu connais ces côtés mais pas la hauteur, le théorème de Pythagore permet de la trouver.
- Trapèze quelconque : ni rectangle ni isocèle.
Pour revoir l'idée d'aire, vois l'aire.
Exemples
| Grande base B | Petite base b | Hauteur h | (B + b) ÷ 2 | Aire |
|---|---|---|---|---|
| 6 cm | 4 cm | 3 cm | 5 cm | 5 × 3 = 15 cm² |
| 9 m | 5 m | 4 m | 7 m | 7 × 4 = 28 m² |
| 8 cm | 3 cm | 5 cm | 5,5 cm | 5,5 × 5 = 27,5 cm² |
| 14 mm | 10 mm | 7 mm | 12 mm | 12 × 7 = 84 mm² |
| 4,5 m | 2,5 m | 2 m | 3,5 m | 3,5 × 2 = 7 m² |
Exemple résolu sans la hauteur : un trapèze isocèle a des bases de 10 cm et 4 cm et des côtés obliques de 5 cm. La grande base dépasse de (10 − 4) ÷ 2 = 3 cm de chaque côté. À chaque bout, on a un triangle rectangle d'hypoténuse 5 cm et de côté 3 cm, donc h = √(5² − 3²) = √16 = 4 cm. Aire = (10 + 4) × 4 ÷ 2 = 28 cm².
Erreurs fréquentes
- Prendre un côté oblique comme hauteur. La hauteur est perpendiculaire aux bases. Repère le trait en pointillés avec le petit carré de l'angle droit.
- Oublier de diviser par 2. (B + b) × h, c'est l'aire de deux trapèzes. Termine toujours par ÷ 2.
- Additionner les mauvais côtés. Dans la parenthèse, on met seulement les deux bases parallèles.
- Mélanger les unités. Si les bases sont en m et la hauteur en cm, convertis d'abord. Puis écris des unités carrées : cm², pas cm.
Étape par étape
Étape par étape
- Repère les basesCe sont les deux côtés parallèles : B (la grande) et b (la petite).
- Trouve la hauteurLa distance perpendiculaire entre les bases. Si elle manque, utilise le côté droit (trapèze rectangle) ou Pythagore (trapèze isocèle).
- Additionne les basesCalcule B + b.
- Multiplie par la hauteur et divise par 2(B + b) × h ÷ 2. Tu peux diviser d'abord la somme ou la hauteur par 2 si c'est plus simple.
- Écris l'unité carréeCm², m² ou mm². Vérifie : l'aire est entre b × h et B × h.
Dans l'autre sens : si tu connais l'aire, tu peux retrouver la hauteur avec h = 2 × A ÷ (B + b), ou une base manquante avec b = 2 × A ÷ h − B.
Exercices
Calcule l'aire du trapèze
Fais chaque exercice, puis vérifie ta réponse.
- Bases 5 cm et 3 cm, hauteur 4 cm.
Voir la réponse
(5 + 3) × 4 ÷ 2 = 8 × 4 ÷ 2 = 16 cm² - Bases 8 cm et 6 cm, hauteur 5 cm.
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14 × 5 ÷ 2 = 35 cm² - Bases 10 m et 4 m, hauteur 6 m.
Voir la réponse
14 × 6 ÷ 2 = 42 m² - Bases 12 cm et 7 cm, hauteur 8 cm.
Voir la réponse
19 × 8 ÷ 2 = 76 cm² - Bases 5,5 cm et 2,5 cm, hauteur 3 cm.
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8 × 3 ÷ 2 = 12 cm² - Bases 9 cm et 6 cm, hauteur 7 cm.
Voir la réponse
15 × 7 ÷ 2 = 52,5 cm² - Un trapèze rectangle a des bases de 9 cm et 5 cm ; le côté perpendiculaire aux bases mesure 6 cm. Calcule son aire.
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Ce côté est la hauteur : 14 × 6 ÷ 2 = 42 cm² - Bases 1,8 m et 1,2 m, hauteur 50 cm. Donne l'aire en m².
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h = 0,5 m ; 3 × 0,5 ÷ 2 = 0,75 m² - Un trapèze a une aire de 60 cm² et des bases de 13 cm et 7 cm. Calcule sa hauteur.
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60 = 20 × h ÷ 2 = 10 × h, donc h = 6 cm - Un trapèze a une aire de 45 m², une hauteur de 5 m et une grande base de 10 m. Calcule la petite base.
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45 = (10 + b) × 5 ÷ 2, donc 10 + b = 18 et b = 8 m - Un trapèze a une aire de 24 cm² et une hauteur de 4 cm. Combien vaut la somme de ses bases ?
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B + b = 2 × 24 ÷ 4 = 12 cm - Un trapèze isocèle a des bases de 12 cm et 6 cm et des côtés obliques de 5 cm. Calcule son aire.
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Dépassement (12 − 6) ÷ 2 = 3 cm ; h = √(25 − 9) = 4 cm ; aire = 18 × 4 ÷ 2 = 36 cm² - Un trapèze isocèle a des bases de 26 cm et 10 cm et des côtés obliques de 17 cm. Calcule son aire.
Voir la réponse
Dépassement 8 cm ; h = √(289 − 64) = √225 = 15 cm ; aire = 36 × 15 ÷ 2 = 270 cm² - Un trapèze rectangle a des bases de 7 cm et 4 cm et une hauteur de 4 cm. Calcule son périmètre et son aire.
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Côté oblique = √(3² + 4²) = 5 cm ; périmètre = 7 + 4 + 4 + 5 = 20 cm ; aire = 11 × 4 ÷ 2 = 22 cm² - Montre que si les deux bases mesurent B, la formule donne B × h.
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(B + B) × h ÷ 2 = 2B × h ÷ 2 = B × h, l'aire d'un parallélogramme
Problèmes
Des trapèzes dans la vie
Fais chaque exercice, puis vérifie ta réponse.
- Un potager en forme de trapèze a des bases de 5 m et 3 m, distantes de 2 m. Un sac de terreau couvre 2 m². Combien de sacs faut-il ?
Voir la réponse
Aire = 8 × 2 ÷ 2 = 8 m² ; 8 ÷ 2 = 4 sacs - Un pan de toit est un trapèze de bases 12 m et 8 m et de hauteur 3 m. Quelle est son aire ?
Voir la réponse
20 × 3 ÷ 2 = 30 m² - Un champ a la forme d'un trapèze de bases 120 m et 80 m, distantes de 50 m. Quelle est son aire ?
Voir la réponse
200 × 50 ÷ 2 = 5000 m² (un demi-hectare) - La coupe d'un fossé est un trapèze de 3 m de large en haut, 1,4 m en bas et 1,2 m de profondeur. Quelle est l'aire de cette coupe ?
Voir la réponse
4,4 × 1,2 ÷ 2 = 2,64 m² - Un abreuvoir est un prisme droit de 100 cm de long dont la base est un trapèze de bases 30 cm et 20 cm et de hauteur 10 cm. Quel volume d'eau contient-il ?
Voir la réponse
Aire du trapèze = 50 × 10 ÷ 2 = 250 cm² ; volume = 250 × 100 = 25 000 cm³ = 25 L - Un mur en forme de trapèze mesure 6 m en haut, 4 m en bas et 2,5 m de haut. Un litre de peinture couvre 10 m². Combien de peinture faut-il ?
Voir la réponse
Aire = 10 × 2,5 ÷ 2 = 12,5 m² ; 12,5 ÷ 10 = 1,25 L
Questions fréquentes
Quelle est la formule de l'aire d'un trapèze ?
A = (B + b) × h ÷ 2 : grande base plus petite base, fois la hauteur, divisé par 2. Elle marche pour tous les trapèzes : rectangle, isocèle ou quelconque.
Comment calculer l'aire d'un trapèze rectangle ?
Avec la même formule. L'avantage : le côté qui fait deux angles droits avec les bases est la hauteur. Bases 9 cm et 5 cm, côté droit 6 cm : (9 + 5) × 6 ÷ 2 = 42 cm².
Comment calculer l'aire d'un trapèze sans la hauteur ?
Pour un trapèze isocèle, calcule le dépassement (B − b) ÷ 2, puis utilise Pythagore : h = √(côté oblique² − dépassement²). Pour un trapèze quelconque dont on connaît les quatre côtés, on peut aussi le découper en un rectangle et des triangles, mais c'est plus long.
Pourquoi divise-t-on par 2 ?
Deux trapèzes identiques, dont l'un est retourné, forment un parallélogramme de base B + b et de hauteur h. Un trapèze vaut la moitié de ce parallélogramme.
Comment démontrer la formule de l'aire du trapèze ?
On peut aussi tracer une diagonale : elle coupe le trapèze en deux triangles de même hauteur h, l'un de base B, l'autre de base b. L'aire totale vaut B × h ÷ 2 + b × h ÷ 2 = (B + b) × h ÷ 2.
Quelle est la différence entre aire et périmètre d'un trapèze ?
L'aire mesure la surface (en cm²) avec les bases et la hauteur. Le périmètre est la somme des quatre côtés (en cm) : il utilise les côtés obliques, pas la hauteur.
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Aire d'un trapèze
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Question 1 sur 5
Quelle est la formule de l'aire d'un trapèze de bases B et b et de hauteur h ?
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