Comment calculer la distance entre deux points ?

Imagine le plan de ton quartier dessiné sur une feuille quadrillée. Ta maison est en (1 ; 2) et la médiathèque en (4 ; 6). En suivant le quadrillage, tu ferais 3 carreaux vers la droite et 4 vers le haut, mais un oiseau irait tout droit. Combien mesure ce trajet en ligne droite ? C'est ce que donne la formule de la distance.

Si tu traces le déplacement horizontal et le déplacement vertical, tu obtiens un triangle rectangle. Le segment [AB] est son plus grand côté, l'hypoténuse. La formule n'est donc rien d'autre que le théorème de Pythagore (a² + b² = c²). Dans un repère orthonormé (axes perpendiculaires et même unité sur les deux axes), pour A(xA ; yA) et B(xB ; yB) :

AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)²)

Pour la maison et la médiathèque : on avance de 4 − 1 = 3, on monte de 6 − 2 = 4, donc AB = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 carreaux.

Trois remarques utiles :

• L'ordre des points ne compte pas. 3 − 7 = −4 et 7 − 3 = 4, mais au carré, les deux donnent 16.
• Une distance n'est jamais négative. Un carré n'est jamais négatif et on prend la racine positive.
• Même abscisse ou même ordonnée ? Pas besoin de la formule. Si les points ont la même abscisse, ils sont sur une droite verticale : on soustrait les ordonnées. De (2 ; 3) à (2 ; −4), il y a 3 − (−4) = 7 unités. Avec la même ordonnée, on soustrait les abscisses.

Beaucoup de résultats ne tombent pas juste. √20 vaut environ 4,47 et, en valeur exacte, se simplifie en 2√5 (voir les racines carrées). Si l'énoncé demande la valeur exacte, garde la racine.

La même idée marche dans l'espace : on ajoute l'écart des cotes z comme troisième carré, AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)² + (zB − zA)²). C'est ainsi qu'on calcule la grande diagonale d'un pavé.

La distance va avec deux autres formules pour deux points repérés par leurs coordonnées : le milieu I de [AB], ((xA + xB)/2 ; (yA + yB)/2), et le coefficient directeur de (AB), (yB − yA)/(xB − xA), qui dit à quel point la droite est inclinée.

Vérification rapide : la distance est au moins égale au plus grand des deux écarts et au plus égale à leur somme. De (1 ; 2) à (4 ; 6), 5 est bien entre 4 et 3 + 4 = 7.

C'est quoi la distance entre deux points ?#

C'est la longueur du segment [AB], la plus courte distance en ligne droite. Dans un repère orthonormé, on la calcule avec AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)²).

Quelle est la formule de la distance entre deux points ?#

AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)²). Elle n'est valable que dans un repère orthonormé : si les axes ne sont pas perpendiculaires ou n'ont pas la même unité, Pythagore ne s'applique pas directement.

Comment calculer la distance entre deux points dans l'espace ?#

On ajoute un troisième terme pour la cote : AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)² + (zB − zA)²). De (1 ; 2 ; 3) à (3 ; 5 ; 9), on trouve √(4 + 9 + 36) = 7.

Comment calculer la distance d'un point à une droite ?#

Pour le point M(x₀ ; y₀) et la droite ax + by + c = 0, la distance est |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²). Du point (1 ; 2) à la droite 3x + 4y − 1 = 0 : |3 + 8 − 1| / 5 = 2.

Comment calculer la distance entre deux points avec la latitude et la longitude ?#

La Terre est (presque) une sphère, donc la formule du plan ne suffit pas. Les GPS et les cartes utilisent une formule de trigonométrie sphérique, comme la formule de haversine. Sur une toute petite zone, la formule du plan donne une bonne approximation.

Comment mesurer la distance entre deux points sur Google Maps ?#

Sur ordinateur, fais un clic droit sur la carte, choisis « Mesurer une distance », puis clique sur les points. Tu obtiens la distance à vol d'oiseau, mesurée sur la surface de la Terre.