Qu'est-ce que la pente d'une droite et comment la calculer ?

Imagine que tu montes une côte à vélo. Une côte douce monte un peu à chaque mètre parcouru ; une côte raide monte beaucoup. La pente donne un nombre à cette inclinaison. Au collège et au lycée, on l'appelle le coefficient directeur de la droite, souvent noté m (ou a pour une fonction affine).

La règle : ce qu'on monte divisé par ce qu'on avance. On monte de la variation de y et on avance de la variation de x. Pour deux points A(xA ; yA) et B(xB ; yB) :

m = (yB − yA) / (xB − xA)

Deux points suffisent, et peu importe lesquels : une droite a la même inclinaison partout. C'est justement ce qui la rend droite.

Il y a quatre cas :

• Pente positive : la droite monte de gauche à droite (la fonction affine est croissante).
• Pente négative : la droite descend de gauche à droite (la fonction est décroissante).
• Pente nulle : la droite est horizontale, elle ne monte pas du tout.
• Pas de coefficient directeur : la droite est verticale. On n'avance pas (xB − xA = 0) et on ne peut pas diviser par zéro. Son équation est du type x = 3.

En seconde, on écrit l'équation réduite d'une droite non verticale y = mx + p, où p est l'ordonnée à l'origine (là où la droite coupe l'axe des ordonnées). Pour une fonction affine f(x) = ax + b, c'est pareil : a est le coefficient directeur et b l'ordonnée à l'origine. Voir aussi les coordonnées et les équations.

La pente est aussi un taux de variation. Sur un graphique distance-temps, c'est la vitesse ; sur un graphique prix-nombre de places, c'est le prix d'une place. Les graphiques en courbe en sont pleins.

Dans la vie courante (routes, toits, terrains), la pente se donne souvent en pourcentage : pente × 100. Une route à 10 % monte de 10 m pour 100 m parcourus à l'horizontale (m = 0,1).

À partir d'une équation : si elle est sous la forme y = mx + p, le coefficient directeur est le nombre devant x. Sinon, isole y d'abord. Pour 2x + 3y = 12, on retire 2x puis on divise par 3 : y = −⅔x + 4, donc m = −⅔.

C'est quoi la pente en maths ?#

C'est le nombre qui mesure l'inclinaison d'une droite : de combien y augmente (ou diminue) quand x augmente de 1. Pour une droite, on parle de coefficient directeur.

Comment calculer une pente ?#

Prends deux points A et B de la droite et calcule m = (yB − yA) / (xB − xA). Sur un graphique, compte les carreaux verticaux (vers le bas, c'est négatif) et horizontaux entre deux nœuds, puis divise.

Comment calculer une pente en pourcentage ?#

Divise la hauteur gagnée par la distance horizontale, puis multiplie par 100. Une allée qui monte de 0,5 m sur 20 m a une pente de 0,5 ÷ 20 = 0,025, soit 2,5 %.

Comment calculer la pente d'un toit ou d'un terrain ?#

Même méthode : mesure la hauteur (le dénivelé) et la longueur à l'horizontale, pas le long de la pente. Un toit qui monte de 3 m sur 5 m à l'horizontale a une pente de 3 ÷ 5 = 0,6, soit 60 %.

Une pente de 100 %, c'est vertical ?#

Non. 100 % signifie qu'on monte de 1 m pour 1 m à l'horizontale : c'est un angle de 45°. Une droite verticale n'a pas de pente en pourcentage.

Quelle est la différence entre pente et ordonnée à l'origine ?#

Dans y = mx + p, m (la pente) dit à quel point la droite est inclinée, et p dit où elle coupe l'axe des ordonnées. La droite y = 2x + 3 a une pente de 2 et coupe l'axe des ordonnées en 3.