Comment trouver l'ordonnée à l'origine et les racines d'une fonction ?

Trace une courbe dans un repère. En passant, elle coupe en général les deux axes. Ces points d'intersection avec les axes sont souvent les premiers qu'on place pour tracer une fonction.

Tout repose sur une idée : les points de l'axe des ordonnées ont pour abscisse 0, et les points de l'axe des abscisses ont pour ordonnée 0. Donc :

• Ordonnée à l'origine : on calcule f(0). Le point d'intersection est (0 ; f(0)).
• Racines : on résout f(x) = 0. Chaque solution x donne un point (x ; 0).

Fonctions affines et droites. Pour une fonction affine f(x) = ax + b, le nombre b est l'ordonnée à l'origine et a est le coefficient directeur. Au lycée, on écrit souvent l'équation réduite d'une droite y = mx + p : c'est alors p, l'ordonnée à l'origine. La racine s'obtient en résolvant ax + b = 0 : x = −b/a (si a ≠ 0). Pour f(x) = 2x − 6 : ordonnée à l'origine −6, point (0 ; −6) ; racine 6/2 = 3, point (3 ; 0).

Si la droite est donnée sous forme cartésienne, comme 2x + 3y = 12, on « cache » une lettre à la fois : x = 0 donne 3y = 12, soit (0 ; 4) ; y = 0 donne 2x = 12, soit (6 ; 0). Deux cas particuliers : une droite horizontale comme y = 4 ne coupe jamais l'axe des abscisses, et une droite verticale comme x = 3 ne coupe jamais l'axe des ordonnées (ce n'est pas la courbe d'une fonction).

Fonctions du second degré. Pour f(x) = ax² + bx + c, l'ordonnée à l'origine est toujours c. Les racines sont les solutions de ax² + bx + c = 0, qu'on trouve en factorisant, avec la forme canonique ou avec le discriminant Δ. Une parabole a deux, une ou aucune racine réelle. Avec la forme canonique f(x) = a(x − α)² + β, on résout directement : pour f(x) = (x − 1)² − 9, (x − 1)² = 9, x − 1 = ±3, donc x = 4 ou x = −2.

Autres fonctions. La règle est la même. Pour une fonction rationnelle comme f(x) = (x − 2)/(x + 1), les racines sont les valeurs qui annulent le numérateur sans annuler le dénominateur : ici x = 2. Une fonction peut avoir beaucoup de racines, mais une seule ordonnée à l'origine au plus, car 0 a au plus une image.

Ce que ça veut dire. Dans un problème concret, l'ordonnée à l'origine est souvent la valeur de départ : la prise en charge d'un taxi, l'argent de départ sur un compte, une batterie pleine. Une racine indique souvent le moment où quelque chose s'épuise ou touche le sol : une cuve vide, un ballon qui retombe.

C'est quoi l'ordonnée à l'origine d'une droite ?#

C'est l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe des ordonnées, c'est-à-dire la valeur de y quand x = 0. Dans y = mx + p, c'est p ; dans f(x) = ax + b, c'est b.

Comment calculer l'ordonnée à l'origine avec deux points ?#

Calcule le coefficient directeur m = (yB − yA)/(xB − xA). Remplace les coordonnées d'un des points dans y = mx + p et résous pour trouver p.

Comment trouver l'ordonnée à l'origine sur un graphique ?#

Lis la hauteur à laquelle la droite traverse l'axe vertical. Si elle ne passe pas sur un nœud du quadrillage, prends deux points lisibles et calcule p par le calcul.

C'est quoi les racines d'une fonction ?#

Ce sont les nombres x tels que f(x) = 0. Graphiquement, ce sont les abscisses des points où la courbe coupe l'axe des abscisses. Pour f(x) = x² − 4, les racines sont 2 et −2.

Comment trouver la racine d'une fonction affine ?#

Résous ax + b = 0 : x = −b/a, à condition que a ≠ 0. Pour f(x) = 3x − 12, la racine est 12/3 = 4.

Comment dit-on ordonnée à l'origine en anglais ?#

On dit « y-intercept », et le point où la courbe coupe l'axe des abscisses se dit « x-intercept ». Dans un tableur en anglais, la fonction qui calcule l'ordonnée à l'origine d'une droite de régression s'appelle INTERCEPT (ORDONNEE.ORIGINE en français).