Comment compléter le carré et trouver la forme canonique d'un trinôme ?

Tout part d'une identité remarquable : (x + 3)² = x² + 6x + 9. Regarde bien : le nombre dans la parenthèse (3) est la moitié du coefficient de x (6), et le nombre à la fin (9) est cette moitié au carré. En général :

(x + d)² = x² + 2dx + d²

La plupart des trinômes ne sont pas des carrés parfaits. x² + 6x + 5 ressemble « presque » à (x + 3)², mais finit par 5 au lieu de 9. Compléter le carré corrige ça : on écrit le carré, puis on rectifie la constante.

x² + 6x + 5 = (x + 3)² − 9 + 5 = (x + 3)² − 4

La règle pour tout x² + bx + c :

x² + bx + c = (x + b/2)² − (b/2)² + c

Pourquoi « compléter le carré » ? Imagine x² comme un carré de côté x, et 6x comme deux bandes de 3 sur x collées sur deux côtés. La figure est presque un grand carré de côté x + 3 : il manque seulement un coin de 3 × 3. En ajoutant ces 9 petits carreaux, on complète le carré. C'est ainsi qu'al-Khwârizmî résolvait les équations du second degré il y a plus de mille ans.

En France, on écrit la forme canonique d'un trinôme ax² + bx + c ainsi :

a(x − α)² + β, avec α = −b/(2a) et β = f(α)

Une fois le trinôme sous cette forme, trois choses deviennent faciles :

• Résoudre l'équation. On isole le carré, on divise par a et on prend les racines carrées. Ça marche pour toute équation du second degré, même si on ne voit pas de factorisation. C'est d'ailleurs en complétant le carré qu'on démontre les formules avec le discriminant Δ = b² − 4ac.
• Le sommet de la parabole. La courbe de f(x) = a(x − α)² + β a pour sommet S(α ; β).
• Le minimum ou le maximum. Un carré est toujours positif ou nul, donc (x − α)² + β ne descend jamais sous β. Si a < 0, la parabole est tournée vers le bas et β est le maximum.

Si a ≠ 1, on factorise d'abord a dans les termes en x² et en x : 2x² + 12x + 7 = 2(x² + 6x) + 7. On complète le carré dans la parenthèse, puis on redistribue.

Vérification rapide : développe ton résultat. Si tu retrouves le trinôme de départ, c'est juste.

Comment compléter le carré ?#

Prends la moitié du coefficient de x, mets-la dans la parenthèse au carré, puis retranche son carré : x² + bx + c = (x + b/2)² − (b/2)² + c. Par exemple, x² + 10x + 3 = (x + 5)² − 25 + 3 = (x + 5)² − 22.

Quelle est la formule de la forme canonique ?#

f(x) = a(x − α)² + β avec α = −b/(2a) et β = f(α). On peut aussi écrire β = −Δ/(4a), où Δ = b² − 4ac est le discriminant. Pour 2x² + 8x + 1 : α = −8/4 = −2 et β = f(−2) = 8 − 16 + 1 = −7, donc f(x) = 2(x + 2)² − 7.

À quoi sert la forme canonique ?#

À trouver le sommet et le tableau de variations d'une fonction du second degré, à résoudre des équations, à démontrer les formules du discriminant et, plus tard, à trouver le centre et le rayon d'un cercle : x² + y² − 4x + 6y − 12 = 0 devient (x − 2)² + (y + 3)² = 25, cercle de centre (2 ; −3) et de rayon 5.

Compléter le carré, est-ce la même chose que le carré magique ?#

Non. Un carré magique est un jeu où l'on remplit une grille de nombres pour que chaque ligne, colonne et diagonale ait la même somme. « Compléter le carré » en algèbre, c'est ajouter le nombre qui manque pour former une identité remarquable (x + d)².

Faut-il utiliser la forme canonique ou le discriminant ?#

Pour résoudre une équation, les deux marchent toujours, et Δ est souvent plus rapide. La forme canonique est plus utile quand on demande aussi le sommet, le minimum ou le maximum, ou quand a = 1 et b est pair.