Comment résoudre une équation du second degré avec le discriminant ?

Une équation du second degré est une équation qui peut s'écrire

ax² + bx + c = 0, avec a différent de 0.

La plus grande puissance de x est 2 : c'est pour cela qu'on parle de « second degré ». Les nombres a, b et c sont les coefficients ; c est aussi appelé terme constant. Dans 3x² + 2x − 8 = 0, a = 3, b = 2 et c = −8. Contrairement aux équations du premier degré, une équation du second degré a souvent deux solutions (on dit aussi deux racines). Au Québec, et dans beaucoup de traductions de l'anglais, on parle d'équation quadratique et de formule quadratique : c'est exactement la même chose.

Pourquoi deux ? Pense à un ballon lancé vers le haut. Sa hauteur suit une courbe appelée parabole. Si tu demandes « quand est-il à 15 m de haut ? », il y a deux réponses : une fois en montant, une fois en descendant. Sur un graphique, les solutions de ax² + bx + c = 0 sont les abscisses des points où la parabole y = ax² + bx + c coupe l'axe des abscisses : tu peux les lire avec les coordonnées.

Il y a trois grandes méthodes :

• La racine carrée, quand il n'y a pas de terme en x : x² = 49 donne x = 7 ou x = −7. N'oublie pas la solution négative.
• La factorisation, quand l'équation se met sous forme de produit : x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0. Un produit est nul si l'un des facteurs est nul, donc x = 2 ou x = 3.
• Le discriminant, qui marche pour toutes les équations du second degré, même celles qu'on ne sait pas factoriser. On calcule d'abord

Δ = b² − 4ac, puis x = (−b ± √Δ) / 2a

Le ± veut dire qu'on fait le calcul deux fois, avec + et avec −, pour obtenir x₁ et x₂. Le signe de Δ décide de tout :

• Δ > 0 : deux solutions distinctes (la parabole coupe l'axe deux fois).
• Δ = 0 : une solution double, x₀ = −b / 2a (la parabole touche l'axe).
• Δ < 0 : aucune solution réelle, car un nombre négatif n'a pas de racine carrée réelle (la parabole ne touche pas l'axe).

Quand Δ ≥ 0, on peut aussi factoriser le trinôme : ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂).

Si les nombres sont petits, essaie d'abord de factoriser : cherche deux nombres dont le produit fait c et la somme fait b (pour x² + 5x + 6, ce sont 2 et 3). Si tu ne les trouves pas vite, passe au discriminant.

Quelle est la formule quadratique ?#

C'est la formule des solutions de ax² + bx + c = 0 : x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. En France, on la présente en deux temps : on calcule Δ = b² − 4ac, puis x₁ = (−b − √Δ) / 2a et x₂ = (−b + √Δ) / 2a.

C'est quoi une équation quadratique ?#

C'est le nom anglais et québécois de l'équation du second degré : une équation de la forme ax² + bx + c = 0 avec a ≠ 0.

Quand utiliser la formule quadratique ?#

Quand on ne voit pas tout de suite une factorisation, ou quand on veut être sûr de trouver toutes les solutions. Pour x² = 49 ou x(x − 4) = 0, ce n'est pas la peine : une racine carrée ou la règle du produit nul suffit.

Comment factoriser avec la formule quadratique ?#

Calcule les racines x₁ et x₂ avec Δ, puis écris ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). Par exemple, 2x² − 7x + 3 a pour racines 3 et ½, donc 2x² − 7x + 3 = 2(x − 3)(x − ½).

Comment démontrer la formule quadratique ?#

Par la forme canonique. Divise ax² + bx + c = 0 par a : x² + (b/a)x = −c/a. Ajoute (b/2a)² des deux côtés : (x + b/2a)² = (b² − 4ac)/4a² = Δ/4a². Si Δ ≥ 0, prends la racine : x + b/2a = ±√Δ/2a, d'où x = (−b ± √Δ) / 2a.

Que veut dire un discriminant négatif ?#

Qu'il n'y a pas de solution réelle : la parabole ne coupe jamais l'axe des abscisses. En Terminale (maths expertes), on découvre qu'il y a alors deux solutions dans les nombres complexes.