Comment calculer le discriminant Δ et les racines x₁ et x₂ d'un trinôme ?

Toute équation du second degré s'écrit ax² + bx + c = 0, avec a ≠ 0. Le polynôme ax² + bx + c s'appelle un trinôme, et ses solutions sont ses racines. La méthode tient en trois formules :

Δ = b² − 4ac, puis, si Δ > 0 : x₁ = (−b − √Δ)/(2a) et x₂ = (−b + √Δ)/(2a)

Le symbole Δ est la lettre grecque delta majuscule. La page sur l'équation du second degré montre la méthode générale ; ici, on regarde de près ce que disent Δ et les formules.

Les trois cas selon le signe de Δ.

• Δ > 0 : deux racines réelles distinctes, x₁ et x₂. La parabole coupe l'axe des abscisses en deux points. Le trinôme se factorise : ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). Si Δ est un carré parfait (1, 4, 9, 16…) et que a, b, c sont entiers, les racines sont entières ou fractionnaires ; sinon elles contiennent une racine carrée, comme 2 ± √3.
• Δ = 0 : une seule racine, dite double, x₀ = −b/(2a). La parabole touche l'axe en son sommet, et ax² + bx + c = a(x − x₀)².
• Δ < 0 : aucune racine réelle, car un nombre négatif n'a pas de racine carrée réelle. La parabole ne rencontre pas l'axe des abscisses, et le trinôme ne se factorise pas. (En terminale, en option maths expertes, avec les nombres complexes, ces équations ont deux solutions complexes.)

Pourquoi −b/(2a) au début ? On peut écrire les deux racines sous la forme x = −b/(2a) ± √Δ/(2a). La première partie est l'abscisse α du sommet de la parabole ; la seconde est la distance de chaque racine à α. Les deux racines sont donc symétriques par rapport à l'axe de la parabole.

D'où viennent les formules ? De la forme canonique. On écrit ax² + bx + c = a[(x + b/(2a))² − Δ/(4a²)] : c'est le principe de « compléter le carré ». Si Δ ≥ 0, on reconnaît une différence de deux carrés, on factorise, et on obtient x₁ et x₂.

Somme et produit des racines. Quand les racines existent : x₁ + x₂ = −b/a et x₁ × x₂ = c/a. C'est une vérification rapide, et cela permet de trouver la seconde racine quand on connaît la première.

Le discriminant réduit Δ'. Quand b est pair, on peut poser b = 2b' et calculer Δ' = b'² − ac. Les racines sont alors x = (−b' ± √Δ')/a. Le signe de Δ' est le même que celui de Δ (car Δ = 4Δ'), mais les calculs sont plus petits. Ce raccourci n'est pas obligatoire.

C'est quoi le discriminant delta ?#

C'est le nombre Δ = b² − 4ac associé au trinôme ax² + bx + c. Il « discrimine » les cas : son signe dit si l'équation ax² + bx + c = 0 a deux racines, une racine double ou aucune racine réelle.

Que se passe-t-il quand Δ = 0 ?#

L'équation a une seule racine, dite double : x₀ = −b/(2a). Le trinôme s'écrit a(x − x₀)², et la parabole touche l'axe des abscisses en son sommet. Exemple : x² − 10x + 25 = (x − 5)².

Que faire si delta est négatif ?#

Il n'y a pas de racine réelle : l'équation n'a pas de solution dans ℝ, et le trinôme a toujours le signe de a. En terminale (option maths expertes), on trouve alors deux solutions complexes : (−b ± i√(−Δ))/(2a).

Quelle est la formule de x₁ fois x₂ ?#

Quand les racines existent, x₁ × x₂ = c/a et x₁ + x₂ = −b/a. Pour x² − 3x − 10 = 0 : x₁ × x₂ = −2 × 5 = −10 = c/a, et x₁ + x₂ = 3 = −b/a.

Comment faire le tableau de signes avec Δ ?#

Si Δ > 0, le trinôme est du signe de a « à l'extérieur des racines » et du signe contraire entre x₁ et x₂. Si Δ = 0, il est du signe de a et s'annule en x₀. Si Δ < 0, il a toujours le signe de a.

Qu'est-ce que delta prime ?#

C'est le discriminant réduit, utile quand b est pair : avec b = 2b', Δ' = b'² − ac et x = (−b' ± √Δ')/a. Pour x² − 6x + 5 = 0, b' = −3, Δ' = 9 − 5 = 4, donc x = 3 ± 2, soit 1 et 5.