Mathématiques
Qu'est-ce que le sommet d'une parabole et comment le calculer ?
Réponse rapide
Le sommet est le point le plus bas ou le plus haut d'une parabole. Pour f(x) = ax² + bx + c, son abscisse est α = −b/(2a) et son ordonnée β = f(α).
En une phrase
Le sommet d'une parabole est le point où la courbe fait demi-tour : son point le plus bas si elle est tournée vers le haut (∪), son point le plus haut si elle est tournée vers le bas (∩).
Explication
La courbe de toute fonction polynôme du second degré, f(x) = ax² + bx + c, est une parabole : une courbe symétrique en forme de U. Le sommet S est le point où la courbe cesse de descendre pour remonter, ou l'inverse.
balle
pont
montagne
Le sens de la parabole dépend du signe de a, le coefficient de x² :
- a > 0 : la parabole est tournée vers le haut (∪). f est décroissante puis croissante, et le sommet donne le minimum.
- a < 0 : la parabole est tournée vers le bas (∩). f est croissante puis décroissante, et le sommet donne le maximum.
La droite verticale qui passe par le sommet est l'axe de symétrie de la parabole.
Les formules du sommet. Pour f(x) = ax² + bx + c, le sommet est le point S(α ; β) avec
α = −b/(2a) et β = f(α), ce qui revient aussi à β = −Δ/(4a), où Δ = b² − 4ac est le discriminant.
D'où vient −b/(2a) ? Cherche les points où f(x) = c. Alors ax² + bx = 0, soit x(ax + b) = 0, donc x = 0 ou x = −b/a. Ces deux points sont à la même hauteur, donc, par symétrie, le sommet est exactement au milieu : α = −b/(2a).
On peut trouver le sommet à partir des trois formes d'une fonction du second degré :
- Forme développée f(x) = ax² + bx + c : calcule α = −b/(2a), puis β = f(α).
- Forme canonique f(x) = a(x − α)² + β : le sommet se lit directement, S(α ; β). Attention au signe : y = (x + 4)² − 7 a pour sommet (−4 ; −7). On obtient la forme canonique en complétant le carré.
- Forme factorisée f(x) = a(x − x₁)(x − x₂) : la parabole coupe l'axe des abscisses en x₁ et x₂, et le sommet est au milieu : α = (x₁ + x₂)/2.
À quoi ça sert ? Dès qu'une grandeur suit une parabole, le sommet répond à la question « quel est le maximum (ou le minimum), et quand est-il atteint ? ». Un ballon lancé vers le haut, de hauteur h(t) = 20t − 5t² mètres, atteint son sommet pour t = −20/(2 × (−5)) = 2 secondes, et h(2) = 40 − 20 = 20 m : il monte à 20 m au bout de 2 secondes, puis redescend. Le sommet est aussi au milieu des deux solutions de l'équation du second degré, c'est pourquoi les formules de x₁ et x₂ commencent par −b/(2a).
Exemples
| Fonction | Forme | Calcul | Sommet | Max ou min |
|---|---|---|---|---|
| y = x² − 6x + 5 | développée | α = 6/2 = 3 ; β = 9 − 18 + 5 = −4 | (3 ; −4) | minimum |
| y = 2x² + 8x + 3 | développée | α = −8/4 = −2 ; β = 8 − 16 + 3 = −5 | (−2 ; −5) | minimum |
| y = −x² + 4x + 1 | développée | α = −4/(−2) = 2 ; β = −4 + 8 + 1 = 5 | (2 ; 5) | maximum |
| y = 3(x − 1)² + 4 | canonique | α = 1, β = 4 | (1 ; 4) | minimum |
| y = −(x + 2)² + 6 | canonique | α = −2, β = 6 | (−2 ; 6) | maximum |
| y = (x − 1)(x − 5) | factorisée | α = (1 + 5)/2 = 3 ; β = 2 × (−2) = −4 | (3 ; −4) | minimum |
La première et la dernière ligne sont la même parabole : (x − 1)(x − 5) = x² − 6x + 5, et les deux méthodes donnent (3 ; −4).
Exemple corrigé : trouve le sommet de f(x) = 2x² − 4x + 5. Ici a = 2 et b = −4, donc α = 4/4 = 1. Puis β = f(1) = 2 − 4 + 5 = 3. Le sommet est S(1 ; 3), et comme a = 2 > 0, c'est un minimum. Vérification avec Δ : Δ = 16 − 40 = −24, et −Δ/(4a) = 24/8 = 3. ✓
Erreurs fréquentes
- Oublier le signe moins dans −b/(2a). Pour y = x² + 6x + 1, b = 6, donc α = −6/2 = −3, et non 3.
- Se tromper de signe dans la forme canonique. y = (x − 2)² + 5 a pour sommet (2 ; 5) ; y = (x + 2)² + 5 a pour sommet (−2 ; 5). Demande-toi quelle valeur de x annule la parenthèse.
- Diviser par 2 en oubliant a. −b/(2a) veut dire −b divisé par 2 × a. Pour y = 3x² − 12x, α = 12/6 = 2, et non 12/2 = 6.
- Mal calculer le carré d'un nombre négatif. Si x = −2, x² = 4, donc 2x² = 8. Écris les parenthèses : 2 × (−2)².
- Croire que le sommet est toujours le point le plus bas. Si a est négatif, c'est le point le plus haut.
Étape par étape
Étape par étape
- Repère a, b et cÉcris la fonction sous la forme ax² + bx + c, avec les signes.
- Calcule αΑ = −b/(2a). (En forme canonique, lis α ; en forme factorisée, prends le milieu des racines.)
- Calcule βΒ = f(α) : remplace x par α dans la fonction.
- Maximum ou minimum ?A > 0 : minimum ; a < 0 : maximum.
- Vérifie par symétrieDeux valeurs de x à égale distance de α doivent donner la même image.
L'axe de symétrie est la droite d'équation x = α. Pour tracer la parabole, place d'abord le sommet, puis complète un tableau de valeurs de part et d'autre.
Exercices
Trouve le sommet
Fais chaque exercice, puis vérifie ta réponse.
- Trouve le sommet de y = (x − 4)² + 1.
Voir la réponse
(4 ; 1) - Trouve le sommet de y = (x + 3)² − 5.
Voir la réponse
La parenthèse s'annule pour x = −3 : (−3 ; −5) - Trouve le sommet de y = −2(x − 1)² + 8. Maximum ou minimum ?
Voir la réponse
(1 ; 8), un maximum (a = −2 est négatif) - Trouve le sommet de y = x² + 4.
Voir la réponse
b = 0, donc α = 0 et β = 4 : (0 ; 4) - Trouve le sommet de y = x² − 4x + 7.
Voir la réponse
α = 4/2 = 2 ; β = 4 − 8 + 7 = 3 : (2 ; 3) - Trouve le sommet de y = x² + 10x + 21.
Voir la réponse
α = −10/2 = −5 ; β = 25 − 50 + 21 = −4 : (−5 ; −4) - Trouve le sommet de y = 2x² − 12x + 13.
Voir la réponse
α = 12/4 = 3 ; β = 18 − 36 + 13 = −5 : (3 ; −5) - Trouve le sommet de y = −x² + 6x − 2.
Voir la réponse
α = −6/(−2) = 3 ; β = −9 + 18 − 2 = 7 : (3 ; 7), un maximum - Trouve le sommet de y = 3x² + 6x + 1.
Voir la réponse
α = −6/6 = −1 ; β = 3 − 6 + 1 = −2 : (−1 ; −2) - Trouve le sommet de y = x² − 5x + 4.
Voir la réponse
α = 5/2 = 2,5 ; β = 6,25 − 12,5 + 4 = −2,25 : (2,5 ; −2,25) - Trouve le sommet de y = (x − 2)(x − 8).
Voir la réponse
α = (2 + 8)/2 = 5 ; β = 3 × (−3) = −9 : (5 ; −9) - Trouve le sommet de y = −(x + 1)(x − 5).
Voir la réponse
α = (−1 + 5)/2 = 2 ; β = −(3)(−3) = 9 : (2 ; 9), un maximum - Écris y = x² + 8x + 10 sous forme canonique et donne le sommet.
Voir la réponse
(x + 4)² − 16 + 10 = (x + 4)² − 6, sommet (−4 ; −6) - Une parabole a pour sommet (2 ; −3) et passe par (0 ; 1). Donne sa forme canonique.
Voir la réponse
y = a(x − 2)² − 3 ; en (0 ; 1) : 1 = 4a − 3, donc a = 1 : y = (x − 2)² − 3 - Quel est le maximum de f(x) = −4x² + 8x + 5 ?
Voir la réponse
α = −8/(−8) = 1 ; f(1) = −4 + 8 + 5 = 9 : le maximum vaut 9, atteint en x = 1
Problèmes
Le sommet dans la vie réelle
Fais chaque exercice, puis vérifie ta réponse.
- La hauteur d'un ballon est h(t) = 20t − 5t² mètres après t secondes. Quelle hauteur maximale atteint-il, et quand ?
Voir la réponse
t = −20/(2 × (−5)) = 2 ; h(2) = 40 − 20 = 20 : 20 m, au bout de 2 secondes - Avec 40 m de grillage, on forme un rectangle d'aire A(x) = x(20 − x) m², où x est la largeur. Quelle est l'aire maximale ?
Voir la réponse
A(x) = −x² + 20x ; α = 10 ; A(10) = 100 : 100 m² (un carré de 10 m de côté) - Le jet d'une fontaine suit h(t) = −5t² + 10t + 1 mètres. Quel est son point le plus haut ?
Voir la réponse
t = −10/(−10) = 1 ; h(1) = −5 + 10 + 1 : 6 m, au bout de 1 seconde - Une arche de pont a la forme y = −0,02x² + 2x, en mètres, où x est la distance à l'un de ses pieds. Quelle est la hauteur de l'arche ?
Voir la réponse
α = −2/(−0,04) = 50 ; y = −0,02 × 2500 + 100 = 50 : 50 m de haut, à 50 m du pied - Deux nombres ont pour somme 14. Quel est leur plus grand produit possible ?
Voir la réponse
P(x) = x(14 − x) = −x² + 14x ; α = 7 : 49 (7 × 7) - Le bénéfice quotidien d'un stand de limonade est B(p) = −10p² + 60p − 40 euros, où p est le prix d'un verre en euros. Quel prix donne le plus grand bénéfice ?
Voir la réponse
α = −60/(−20) = 3 ; B(3) = −90 + 180 − 40 = 50 : 3 € le verre, pour 50 € de bénéfice
Questions fréquentes
Quelle est la formule du sommet d'une parabole ?
Pour f(x) = ax² + bx + c, le sommet est S(α ; β) avec α = −b/(2a) et β = f(α) = −Δ/(4a). On note souvent ses coordonnées α et β.
Comment trouver le sommet avec la forme canonique ?
Dans f(x) = a(x − α)² + β, le sommet se lit directement : S(α ; β). Pour f(x) = 2(x − 3)² + 1, le sommet est (3 ; 1). Attention, pour (x + 3)², α = −3.
Comment trouver le sommet avec la forme factorisée ?
Dans f(x) = a(x − x₁)(x − x₂), l'abscisse du sommet est la moyenne des racines : α = (x₁ + x₂)/2. Calcule ensuite β = f(α).
Comment trouver le sommet avec la forme développée ?
Calcule α = −b/(2a), puis remplace x par α dans ax² + bx + c pour obtenir β. Pour f(x) = x² − 4x + 7 : α = 2 et β = 3.
Qu'est-ce que le foyer d'une parabole ?
C'est un autre point, situé à l'intérieur de la courbe. Chaque point de la parabole est à la même distance du foyer que d'une droite appelée directrice, et le sommet est exactement au milieu. Pour y = ax², le foyer est en (0 ; 1/(4a)).
Une parabole peut-elle avoir plusieurs sommets ?
Non : une parabole a un seul sommet et un seul axe de symétrie.
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Quel est le sommet de la parabole y = (x − 3)² + 2 ?
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