Qu'est-ce qu'une fonction composée et comment calculer f(g(x)) ?

Imagine deux machines-fonctions posées l'une après l'autre sur un tapis roulant. La première, g, multiplie par 2. La seconde, f, ajoute 3. Tu mets 4 : g le transforme en 8, et f transforme 8 en 11. La chaîne entière est une nouvelle fonction, la fonction composée, qui transforme 4 en 11.

On la note f ∘ g, qui se lit « f rond g », et on la définit par (f ∘ g)(x) = f(g(x)). Attention au piège : on écrit f en premier, mais c'est g qui agit d'abord. La fonction la plus proche de x agit la première, comme la parenthèse la plus intérieure dans un calcul.

Il y a deux sortes de questions.

1. Avec un nombre. On travaille de l'intérieur vers l'extérieur. Si f(x) = 2x + 1 et g(x) = x², alors f(g(3)) : d'abord g(3) = 9, puis f(9) = 19.

2. Avec une expression. On remplace chaque x de f par g(x) tout entier, entre parenthèses. f(g(x)) = f(x²) = 2x² + 1. Vérification avec 3 : 2 × 9 + 1 = 19, comme avant.

L'ordre compte. g ∘ f veut dire f d'abord : g(2x + 1) = (2x + 1)² = 4x² + 4x + 1, et (g ∘ f)(3) = 7² = 49, pas 19. En général, f ∘ g et g ∘ f sont différentes : la composition n'est pas commutative.

Attention à l'ensemble de définition. Ce qui sort de la fonction intérieure doit pouvoir entrer dans la fonction extérieure. Avec f(x) = √x et g(x) = x − 3, f(g(x)) = √(x − 3) n'est définie que pour x ≥ 3, car la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas dans ℝ.

On peut aussi lire une fonction à l'envers : reconnaître que h(x) = (3x + 1)⁵ est « d'abord 3x + 1, puis la puissance 5 », c'est décomposer la fonction. C'est la clé de la dérivée d'une fonction composée en terminale. Une fonction et sa réciproque forment un couple particulier : f(f⁻¹(x)) = x, car la seconde machine défait la première.

Pour décomposer une fonction, demande-toi « qu'arrive-t-il d'abord à x ? ». Dans h(x) = √(x² + 9), on élève au carré et on ajoute 9 d'abord, donc g(x) = x² + 9, puis on prend la racine, donc f(x) = √x et h = f ∘ g.

C'est quoi une fonction composée ?#

C'est une fonction obtenue en appliquant une fonction, puis une autre au résultat. On la note f ∘ g et (f ∘ g)(x) = f(g(x)).

Comment lire f ∘ g ?#

On lit « f rond g ». Attention : on lit f en premier, mais c'est g qui est appliquée d'abord à x.

Comment dériver une fonction composée ?#

En terminale, on utilise (f ∘ g)′(x) = g′(x) × f′(g(x)). Par exemple, la dérivée de (3x + 1)⁵ est 3 × 5(3x + 1)⁴ = 15(3x + 1)⁴, et celle de e^(2x) est 2e^(2x).

Comment calculer la limite d'une fonction composée ?#

On calcule d'abord la limite de la fonction intérieure, puis la limite de la fonction extérieure en ce point. Quand x tend vers +∞, 1/x tend vers 0, donc √(1 + 1/x) tend vers √1 = 1.

Comment trouver la primitive d'une fonction composée ?#

On cherche la forme u′ × f′(u), dont une primitive est f(u). Par exemple, 2x e^(x²) est de la forme u′eᵘ avec u = x², donc une primitive est e^(x²).

f ∘ g et g ∘ f, c'est pareil ?#

Presque jamais. Avec f(x) = x + 1 et g(x) = x², (f ∘ g)(x) = x² + 1 mais (g ∘ f)(x) = (x + 1)² = x² + 2x + 1.

Quel lien avec la fonction réciproque ?#

Composer une fonction avec sa réciproque la défait : f(f⁻¹(x)) = x. Et la réciproque d'une composée inverse l'ordre : (f ∘ g)⁻¹ = g⁻¹ ∘ f⁻¹, comme on enlève ses chaussures avant ses chaussettes.