C'est quoi une inéquation et comment la résoudre ?

Une équation dit que deux choses sont égales. Une inéquation dit laquelle est la plus grande. On en croise tous les jours : « taille minimum 1,20 m pour ce manège », « vitesse limitée à 30 km/h », « gratuit pour les moins de 4 ans ».

Il y a quatre symboles principaux :

Astuce : le côté ouvert du symbole est toujours tourné vers le plus grand nombre, et le petit trait sous ≤ et ≥ veut dire « ou égal ».

Sans inconnue, comme 3 < 7, on parle d'**inégalité**. Avec une inconnue, comme x + 2 > 5, c'est une inéquation. L'équation x + 2 = 5 a une seule solution, x = 3. L'inéquation x + 2 > 5 en a une infinité : 3,1 ; 4 ; 10 ; un million… On écrit donc l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle : S = ]3 ; +∞[.

En France, on représente les solutions sur une droite graduée avec des crochets :

• Crochet tourné vers l'extérieur (borne exclue) pour < et > : ]3 ; +∞[.
• Crochet tourné vers les solutions (borne incluse) pour ≤ et ≥ : ]−∞ ; 5].
• On colorie (ou on hachure) la partie de la droite où se trouvent les solutions. Dans d'autres pays, on utilise un rond vide (exclu) ou plein (inclus).

Résoudre une inéquation du premier degré, c'est presque comme résoudre une équation : on peut ajouter, soustraire, multiplier ou diviser les deux membres par le même nombre. Avec une règle en plus : si on multiplie ou divise les deux membres par un nombre négatif, on change le sens de l'inégalité. Pourquoi ? 2 < 5 est vrai, mais en multipliant par −1 on obtient −2 et −5, et sur la droite graduée −2 est à *droite* de −5 : −2 > −5. L'ordre s'inverse, donc le symbole aussi. C'est pour cela que les nombres négatifs demandent de l'attention.

Un encadrement comme −2 < x ≤ 4 veut dire que x est entre −2 et 4 : plus grand que −2 et au plus 4. C'est l'intervalle ]−2 ; 4].

Pour un encadrement comme −3 < 2x + 1 ≤ 9, on agit sur les trois membres à la fois : on soustrait 1 (−4 < 2x ≤ 8), puis on divise par 2 (−2 < x ≤ 4), donc S = ]−2 ; 4].

C'est quoi une inéquation en mathématiques ?#

C'est une inégalité qui contient une inconnue, avec <, >, ≤ ou ≥ à la place de =. Par exemple, x + 1 > 4 se lit « x plus 1 est strictement supérieur à 4 » et elle est vraie pour tous les x supérieurs à 3.

Comment résoudre une inéquation ?#

Comme une équation : on développe, on regroupe les x d'un côté, on isole x. La seule différence : quand on multiplie ou divise par un nombre négatif, on change le sens de l'inégalité. On conclut par l'ensemble des solutions S, en général un intervalle.

Quelle est la différence entre une inégalité et une inéquation ?#

Une inégalité compare des nombres, comme 3 < 7 : elle est vraie ou fausse. Une inéquation contient une inconnue, comme 2x > 6, et on cherche les valeurs qui la rendent vraie : ici x > 3.

Comment résoudre une inéquation avec un tableau de signes ?#

On l'utilise pour un produit ou un quotient. Pour (x − 1)(x + 2) > 0, on étudie le signe de chaque facteur : x − 1 change de signe en 1, x + 2 en −2. Le produit est positif quand les deux facteurs ont le même signe, donc S = ]−∞ ; −2[ ∪ ]1 ; +∞[.

Comment résoudre une inéquation du second degré ?#

On calcule le discriminant Δ et les racines, puis on utilise le signe du trinôme : il est du signe de a à l'extérieur des racines. Pour x² − 5x + 6 < 0 : Δ = 25 − 24 = 1, racines 2 et 3, a = 1 > 0, donc le trinôme est négatif entre les racines : S = ]2 ; 3[.

Comment résoudre une inéquation avec une valeur absolue ?#

|x| < 3 veut dire que x est à une distance de 0 inférieure à 3 : −3 < x < 3. Pour |x − 1| < 3, on écrit −3 < x − 1 < 3, donc −2 < x < 4 et S = ]−2 ; 4[.