Qu'est-ce qu'une fonction réciproque et comment la trouver ?

Vois une fonction comme une machine. f(x) = 2x + 1 prend 3, le multiplie par 2 (6), ajoute 1 et donne 7. La machine réciproque marche à l'envers : elle prend 7, retire 1 (6), divise par 2 et rend 3. Chaque étape est défaite, dans l'ordre inverse, comme quand on enlève ses chaussures avant ses chaussettes.

La réciproque de f se note f⁻¹. Attention au vocabulaire : en français, on dit fonction réciproque, car « l'inverse de f » désigne plutôt 1/f. Le −1 n'est pas un exposant : f⁻¹(x) ne veut pas dire 1/f(x).

Pour la trouver par le calcul :

1. Écris y = f(x), par exemple y = 2x + 1.
2. Exprime x en fonction de y : x = (y − 1)/2.
3. Échange les lettres pour écrire la réciproque avec la variable x : f⁻¹(x) = (x − 1)/2.

Vérification : f(3) = 7 et f⁻¹(7) = 6/2 = 3. En général, f(f⁻¹(x)) = x et f⁻¹(f(x)) = x : enchaîner une fonction et sa réciproque, c'est revenir au point de départ.

Sur un graphique, échanger x et y transforme chaque point (a ; b) en (b ; a). C'est la symétrie par rapport à la droite d'équation y = x (la première bissectrice, dans un repère orthonormé). Si (3 ; 7) est sur la courbe de f, alors (7 ; 3) est sur celle de f⁻¹.

Toutes les fonctions n'ont pas de réciproque. La fonction carré envoie 3 et −3 sur 9 : la réciproque ne saurait pas lequel rendre. Il faut que f soit une bijection : chaque image a exactement un antécédent. Une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle en est une. Sinon, on restreint l'intervalle : sur [0 ; +∞[, x ↦ x² est strictement croissante et sa réciproque est x ↦ √x.

Les rôles s'échangent aussi : l'ensemble de départ de f⁻¹ est l'ensemble des images de f, et inversement.

Tu connais déjà des couples célèbres : carré et racine carrée (sur [0 ; +∞[), cube et racine cubique, exp et ln (voir les logarithmes), 10ˣ et log, et après le bac, sin et arcsin sur un intervalle restreint.

Pour un polynôme du second degré, restreins d'abord l'intervalle. f(x) = (x − 3)² + 1 sur [3 ; +∞[ : on échange, x = (y − 3)² + 1, donc (y − 3)² = x − 1 et y = 3 + √(x − 1). On garde la racine positive car y ≥ 3. Donc f⁻¹(x) = 3 + √(x − 1) pour x ≥ 1. Vérification : f(4) = 2 et f⁻¹(2) = 3 + 1 = 4.

C'est quoi une fonction réciproque ?#

C'est la fonction qui défait une autre fonction. Si f transforme 3 en 7, sa réciproque transforme 7 en 3. Appliquer f puis f⁻¹, c'est revenir au point de départ.

Quelle différence entre fonction réciproque et fonction inverse ?#

En français, la fonction inverse est x ↦ 1/x, et « l'inverse de f » désigne 1/f. La réciproque f⁻¹ est autre chose : elle défait f. Pour f(x) = 2x, l'inverse est 1/(2x) et la réciproque est x/2.

Comment trouver la réciproque d'une fonction ?#

Écris y = f(x), exprime x en fonction de y, puis remplace y par x. Vérifie toujours avec un nombre que f(f⁻¹(x)) = x.

Comment tracer la courbe de la fonction réciproque ?#

Trace la courbe de f et la droite y = x dans un repère orthonormé, puis prends le symétrique de chaque point : (a ; b) devient (b ; a). Les courbes de exp et de ln sont l'exemple classique.

Quand une fonction admet-elle une réciproque ?#

Quand c'est une bijection : chaque image a un seul antécédent. En terminale, on utilise souvent ce résultat : une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle réalise une bijection de cet intervalle sur son image.

Que sont les fonctions circulaires réciproques ?#

arcsin, arccos et arctan sont les réciproques de sin, cos et tan, chacune sur un intervalle où la fonction est strictement monotone. Par exemple, arcsin va de [−1 ; 1] dans [−π/2 ; π/2], et arcsin(1/2) = π/6.

Comment dériver une fonction réciproque ?#

On utilise (f⁻¹)′(x) = 1/f′(f⁻¹(x)), quand f′ ne s'annule pas. Pour f(x) = x³, f⁻¹(8) = 2 et f′(2) = 12, donc la dérivée de la racine cubique en 8 vaut 1/12.