C'est quoi un logarithme, et comment le calculer ?

Tu sais déjà calculer « 2 puissance 3 » (ça fait 8). Un logarithme pose la question à l'envers : « 2 puissance combien donne 8 ? ». On écrit cette question log₂ 8, on la lit « logarithme en base 2 de 8 » et sa réponse est 3. La définition :

log_b x = y veut dire exactement la même chose que b^y = x

Le petit nombre b est la base (positive et différente de 1), x est le nombre dont on prend le logarithme (il doit être strictement positif) et la réponse y est un exposant. Si tu es à l'aise avec les puissances, tu sais déjà l'essentiel : logarithme et puissance sont deux façons d'écrire le même fait, et le logarithme « défait » la puissance comme la soustraction défait l'addition.

Deux bases ont leur touche sur la calculatrice. log (sans base écrite) est la base 10, le logarithme décimal, aussi appelé logarithme de Briggs : log 1000 = 3 car 10³ = 1000. ln est la base e, le logarithme népérien, où e ≈ 2,718 est un nombre particulier qui apparaît dans la croissance, les intérêts composés et l'analyse. ln e = 1 pour la même raison que log 10 = 1. Au lycée, c'est surtout la fonction ln que tu étudieras.

À quoi ça sert ? À ramener des écarts énormes à des nombres faciles à manier. log 10 = 1, log 1 000 000 = 6, log 1 000 000 000 = 9. Chaque pas de 1 veut dire « dix fois plus ». C'est le principe de l'échelle de pH (un pH de 3 est dix fois plus acide qu'un pH de 4), des décibels (chaque 10 dB de plus, c'est une intensité sonore dix fois plus grande) et c'est pourquoi les grands nombres en notation scientifique se comparent si bien : l'exposant de 10 est, à peu près, le logarithme décimal.

Le logarithme transforme aussi les produits en sommes. En 1614, le mathématicien écossais John Napier (Neper en français, d'où « népérien ») publie les premières tables de logarithmes, et Henry Briggs construit bientôt celles en base 10. Pendant plus de 300 ans, savants et ingénieurs ont multiplié de grands nombres en cherchant leurs logarithmes dans une table, en les additionnant, puis en lisant le résultat à l'envers. Les règles à calcul fonctionnaient de la même façon.

Enfin, le logarithme est l'outil pour résoudre les équations où l'inconnue est en exposant, comme 3^x = 20. Le calcul algébrique habituel ne permet pas de faire « descendre » le x ; le logarithme, si.

Pour simplifier une somme de logarithmes, utilise d'abord la règle de la puissance pour remonter en exposant les nombres placés devant, puis regroupe tout en un seul logarithme avec les règles du produit et du quotient. Par exemple, 2 log 5 + log 4 = log 25 + log 4 = log 100 = 2.

C'est quoi un logarithme, simplement ?#

C'est l'exposant qu'il faut. log 100 = 2 car il faut élever 10 à la puissance 2 pour obtenir 100. Un logarithme, c'est un exposant écrit dans l'autre sens.

C'est quoi ln en maths ?#

ln est le logarithme népérien, de base e ≈ 2,718. C'est la fonction réciproque de la fonction exponentielle : ln(eˣ) = x et e^(ln x) = x pour x > 0. ln 1 = 0 et ln e = 1.

C'est quoi log en maths et en physique ?#

log est le logarithme décimal (de Briggs), de base 10. En physique-chimie, on le retrouve dans le pH, pH = −log [H₃O⁺], et dans le niveau sonore en décibels.

Quelles sont les formules des logarithmes ?#

Les trois principales sont celles du produit, ln (ab) = ln a + ln b, du quotient, ln (a/b) = ln a − ln b, et de la puissance, ln (aⁿ) = n ln a. Elles valent aussi pour log et pour toute autre base.

Combien vaut ln 0 ?#

ln 0 n'existe pas, car aucune puissance de e ne donne 0. En revanche, quand x tend vers 0 en restant positif, ln x tend vers −∞ : la courbe de ln plonge le long de l'axe des ordonnées.

Comment calculer un logarithme à la calculatrice ?#

Touche log pour la base 10, touche ln pour la base e. Pour une autre base, utilise le changement de base : log₂ 50 = ln 50 ÷ ln 2 ≈ 5,64.

Quel lien entre logarithme et exponentielle ?#

Ce sont des fonctions réciproques : y = ln x défait y = eˣ, et leurs courbes sont symétriques par rapport à la droite y = x. C'est pour cela que le logarithme sert à résoudre les équations avec une exponentielle.