C'est quoi une fonction en maths ?

Imagine une machine à calculer. Tu mets un nombre à l'entrée, la machine applique son programme, et un nombre sort. Si le programme est « multiplier par 2 puis ajouter 3 », mettre 4 donne 11, mettre 10 donne 23. Remets 4 demain : tu obtiens encore 11. C'est cette fiabilité qui fait une fonction.

On écrit le programme avec une notation : f(x) = 2x + 3, ou f : x ↦ 2x + 3 (« f est la fonction qui à x associe 2x + 3 »). Le nombre obtenu s'appelle l'image : f(4) = 11, donc 11 est l'image de 4 par f. Dans l'autre sens, 4 est un antécédent de 11. Attention : f(x) ne veut pas dire « f fois x ».

La règle d'or : chaque nombre a une seule image. Deux nombres différents peuvent avoir la même image (avec f(x) = x², 3 et −3 ont tous les deux l'image 9), mais un nombre ne peut jamais avoir deux images. Un nombre peut donc avoir plusieurs antécédents, ou aucun. Pense à un distributeur : chaque bouton donne un seul produit. Si le bouton B4 donnait tantôt des chips, tantôt du chocolat, il serait en panne.

Une fonction peut être donnée de quatre façons :

• une formule : f(x) = 2x + 3 ;
• un tableau de valeurs : les x sur une ligne, les images sur l'autre ;
• des couples : (0 ; 3), (1 ; 5), (2 ; 7) ;
• une courbe représentative : chaque couple (x ; f(x)) est un point placé grâce aux coordonnées, x en abscisse et f(x) en ordonnée.

Sur un graphique, fais le test de la droite verticale : si une droite verticale coupe la courbe en plus d'un point, ce n'est pas la courbe d'une fonction. Un cercle échoue ; une droite non verticale réussit.

L'ensemble de définition est l'ensemble des nombres qui ont une image. Pour f(x) = 1/x, c'est tous les nombres sauf 0 (on ne divise pas par 0). Les images, elles, ne sont pas forcément tous les nombres : avec f(x) = x², on a toujours f(x) ≥ 0, car un carré n'est jamais négatif.

Les premières fonctions rencontrées sont les fonctions linéaires f(x) = ax et les fonctions affines f(x) = ax + b, représentées par des droites. Le nombre a est le coefficient directeur (la pente) et b l'ordonnée à l'origine. Ensuite viennent les fonctions de référence : carré (x²), inverse (1/x), racine carrée (√x) et cube (x³). Les suites sont aussi des fonctions : la formule du terme général transforme le rang n en un terme.

Pour lire une image sur un graphique, pars de x sur l'axe des abscisses, monte jusqu'à la courbe et lis l'ordonnée. Pour un antécédent, fais le chemin inverse depuis l'axe des ordonnées.

C'est quoi une fonction, simplement ?#

C'est une règle qui prend un nombre et en donne exactement un autre. « Ajouter 5 » est une fonction : 2 devient 7, 10 devient 15, et le même nombre donne toujours le même résultat.

C'est quoi une fonction affine ?#

C'est une fonction de la forme f(x) = ax + b, dont la courbe est une droite. a est le coefficient directeur (la droite monte si a > 0, descend si a < 0) et b est l'ordonnée à l'origine. Si b = 0, la fonction est linéaire et la droite passe par l'origine.

Quelle est la différence entre image et antécédent ?#

L'image est le résultat f(x) ; l'antécédent est le nombre x de départ. Avec f(x) = x², l'image de 3 est 9, et 9 a deux antécédents : 3 et −3.

Quelles sont les fonctions usuelles ?#

En seconde, on étudie les fonctions de référence : carré (x²), inverse (1/x), racine carrée (√x) et cube (x³), en plus des fonctions affines. Il faut connaître l'allure de leurs courbes et leurs variations.

Comment savoir si une courbe représente une fonction ?#

Trace des droites verticales : si l'une d'elles coupe la courbe en plus d'un point, un même x aurait plusieurs images, donc ce n'est pas une fonction.

Quelle est la différence entre une fonction et une équation ?#

Une équation, comme 2x + 3 = 11, pose une question à laquelle on répond par un ou plusieurs nombres (x = 4). Une fonction, comme f(x) = 2x + 3, donne une image pour chaque x. Résoudre f(x) = 11, c'est chercher les antécédents de 11.