C'est quoi les radicaux en maths, et comment les simplifier ?

Certaines racines carrées tombent juste : √9 = 3 et √25 = 5. La plupart non. √2 = 1,41421356… et les chiffres continuent sans fin et sans motif qui se répète : √2 est un nombre irrationnel. Quand on écrit ce nombre avec le symbole racine au lieu de l'arrondir, on travaille avec des radicaux. Dans ∛5, le symbole √ est le radical, le nombre en dessous (5) est le radicande et le petit nombre (3) est l'indice. Sans indice écrit, c'est 2 : une racine carrée.

En France, on parle surtout de « racines carrées » et d'« écrire sous la forme a√b » ; le mot « radicaux » est très employé en Belgique et au Québec. En anglais, on dit surds au Royaume-Uni et radicals aux États-Unis. Les règles sont les mêmes partout.

Pourquoi ne pas prendre la calculatrice ? Parce qu'un décimal n'est qu'une valeur approchée, alors que le radical est exact. Si un carré a des côtés de 1 m, le théorème de Pythagore dit que sa diagonale mesure √(1² + 1²) = √2 m. Écrire 1,41 m est presque juste ; écrire √2 m est exactement juste, et le reste jusqu'au bout du calcul. Les radicaux sont partout en géométrie et en trigonométrie : sin 60° vaut exactement √3/2.

La règle clé : la racine se répartit sur les produits et les quotients (pour a et b positifs) :

√(ab) = √a × √b et √(a/b) = √a ÷ √b

Pour simplifier un radical, cherche le plus grand carré parfait qui divise le radicande et sors sa racine. √50 = √(25 × 2) = √25 × √2 = 5√2. Si tu ne vois pas le carré, la décomposition en facteurs premiers aide : 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3, et chaque paire de facteurs égaux sort comme un seul facteur, donc √72 = 2 × 3 × √2 = 6√2.

On ne peut additionner ou soustraire que des radicaux semblables, ceux qui ont le même radicande (et le même indice), comme on additionne 3x + 5x mais pas 3x + 5y. Donc 3√2 + 5√2 = 8√2, mais √2 + √3 reste tel quel. Souvent, il faut d'abord simplifier pour voir qu'ils sont semblables : √18 + √8 = 3√2 + 2√2 = 5√2.

Enfin, on évite de laisser une racine au dénominateur : on rend le dénominateur rationnel en multipliant en haut et en bas par la racine, car √a × √a = a. Pour 6/√3, multiplie par √3/√3 : 6√3/3 = 2√3.

Les radicaux sont aussi des puissances à exposant fractionnaire : √a = a^½ et ∛a = a^⅓. C'est pour cela que les règles des puissances marchent aussi avec les racines.

Pour un dénominateur comme 3 − √2, multiplie en haut et en bas par l'expression conjuguée 3 + √2. En bas, (3 − √2)(3 + √2) = 9 − 2 = 7 : plus de racine.

C'est quoi les radicaux en maths ?#

Ce sont des expressions avec une racine, comme √2, ∛5 ou 3√7. On les utilise surtout quand la racine ne tombe pas juste, pour écrire un nombre irrationnel de façon exacte.

Comment simplifier les radicaux ?#

Décompose le radicande et sors les facteurs qui forment un carré (ou un cube si l'indice est 3) : √50 = √(25 × 2) = 5√2. C'est simplifié quand il ne reste plus de facteur carré sous la racine.

Comment multiplier les radicaux ?#

Avec le même indice, on multiplie les coefficients entre eux et les radicandes entre eux : 2√3 × 4√2 = 8√6. Pour diviser, même principe : √50 ÷ √2 = √25 = 5.

Comment comparer deux radicaux ?#

Fais rentrer les coefficients sous la racine, puis compare les radicandes : 3√2 = √18 et 2√5 = √20, donc 2√5 est plus grand. Tu peux aussi comparer leurs carrés : 18 < 20.

Comment calculer un radical d'indice n ?#

La racine n-ième de a est le nombre qui, élevé à la puissance n, donne a : ∛8 = 2 car 2³ = 8. On l'écrit aussi a^(1/n), et pour simplifier, on cherche des facteurs à la puissance n : ∛54 = ∛(27 × 2) = 3∛2.

Pourquoi enlever la racine du dénominateur ?#

C'est une convention qui donne une écriture unique et plus facile à comparer ou à additionner. On multiplie en haut et en bas par la racine, ou par l'expression conjuguée.

Est-ce que ça a un rapport avec les radicaux libres ?#

Non. Les « radicaux libres » sont des molécules étudiées en chimie et en biologie. En maths, « radical » vient du latin radix, « racine ».