Mathématiques
Qu'est-ce que le nombre pi (π) ?
Réponse rapide
Le nombre pi (π) est ce qu'on obtient en divisant la circonférence de n'importe quel cercle par son diamètre. Il vaut environ 3,14 et ses décimales continuent sans fin, sans se répéter.
En une phrase
Pi, écrit π, est un nombre qui vaut environ 3,14159… C'est le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre : le diamètre tient un peu plus de 3 fois autour du bord, pour tous les cercles.
Explication
Qu'est-ce que le nombre pi ?
Prends un objet rond : une assiette, un couvercle de boîte, une roue de vélo. Mesure la distance qui traverse le milieu (le diamètre) et la distance tout autour (la circonférence). Puis divise la circonférence par le diamètre. Quelle que soit la taille du cercle, tu obtiens environ 3,14. Ce nombre est π, la lettre grecque « pi » (la 16e lettre de l'alphabet grec).
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Quelle est la valeur de π ?
π ne vaut pas exactement 3,14. Il commence par 3,14159265… et ses chiffres continuent sans fin, sans jamais se répéter selon un motif. On appelle ces nombres des nombres irrationnels. Les ordinateurs ont calculé des milliers de milliards de chiffres, mais pour presque tous les calculs, 3,14, la touche π d'une calculatrice ou la fraction 22/7 suffisent largement. Pour le quotidien, arrondir à 3,14 convient ; voir les nombres décimaux et l'arrondi.
Quelle est la formule de π ?
Les parties d'un cercle dont tu as besoin :
- Rayon (r) : du centre jusqu'au bord.
- Diamètre (d) : d'un bord à l'autre en passant par le centre. d = 2r.
- Circonférence (C) : le périmètre du cercle.
π lui-même vient d'une division : π = C ÷ d. On s'en sert ensuite pour les formules du cercle :
| Ce qu'on cherche | Formule | Exemple (r = 5 cm) |
|---|---|---|
| Circonférence | C = π × d, ou C = 2 × π × r | 2 × 3,14 × 5 = 31,4 cm |
| Aire du disque | A = π × r² | 3,14 × 5² = 3,14 × 25 = 78,5 cm² |
| Volume d'un cylindre | V = π × r² × hauteur | pour une hauteur de 10 cm : 785 cm³ |
Pourquoi le rayon au carré ? Imagine un carré dessiné sur le rayon. Un cercle recouvre un peu plus de trois de ces carrés : exactement π d'entre eux. (Voir l'aire.)
πr² et « pi au carré » : ce n'est pas la même chose
Dans la formule A = πr², le petit « 2 » ne porte que sur le rayon : on calcule d'abord r², puis on multiplie par π. Ce n'est pas « pi au carré ». Le nombre π² (pi au carré) existe aussi : c'est π × π ≈ 9,87. On le rencontre plus tard, dans des mathématiques avancées, mais pas dans l'aire d'un disque. Par exemple, pour r = 3 cm, l'aire vaut π × 9 ≈ 28,26 cm², et non 9,87 cm².
Une courte histoire de π
On cherche à estimer π depuis des milliers d'années. Il y a près de 4 000 ans, les Babyloniens utilisaient environ 3,125 et les Égyptiens environ 3,16. Archimède, dans la Grèce antique, a montré qu'il se situe entre 3 10/71 et 3 1/7 en plaçant des polygones à nombreux côtés à l'intérieur et à l'extérieur d'un cercle. La lettre π n'a été choisie qu'au XVIIIe siècle et a été rendue célèbre par le mathématicien Leonhard Euler.
Les passionnés fêtent le jour de Pi le 14 mars, car dans l'écriture américaine des dates on note 3/14. En France, on écrit 14/3, alors certains préfèrent le 22 juillet (22/7).
Mesure π toi-même
Étape par étape
- Trouve un objet rondUn couvercle, un verre, une boîte de conserve.
- Mesure le tourAvec une ficelle, puis étends la ficelle contre une règle.
- Mesure le diamètreLa largeur la plus grande, en passant par le milieu.
- DiviseLe tour par le diamètre. Tu trouveras un nombre proche de 3,14, sans doute un peu plus ou un peu moins : mesurer n'est jamais parfait.
Exemples
| Cercle | Calcul | Résultat |
|---|---|---|
| Circonférence, d = 7 cm | 22/7 × 7 | 22 cm |
| Circonférence, r = 10 m | 2 × 3,14 × 10 | 62,8 m |
| Aire, r = 3 cm | 3,14 × 3² = 3,14 × 9 | 28,26 cm² |
| Aire, d = 20 cm (donc r = 10 cm) | 3,14 × 100 | 314 cm² |
Exemple détaillé : une roue de vélo a un diamètre de 70 cm. En un tour, elle avance d'environ 3,14 × 70 = 219,8 cm, soit à peu près 2,2 m.
Erreurs fréquentes
- Utiliser le diamètre dans la formule de l'aire. A = πr² utilise le rayon. Divise d'abord le diamètre par 2.
- Élever au carré après avoir multiplié par π. Dans πr², élève d'abord le rayon au carré, puis multiplie par π.
- Confondre πr² et π². Le premier est l'aire d'un disque ; le second, π × π ≈ 9,87, est un autre nombre.
- Croire que π = 3,14 exactement. Ce n'est qu'une valeur arrondie.
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Le nombre pi (π)
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Quelle est la valeur de π à deux décimales près ?
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