Quels sont les critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5, 9, 10 et les autres ?

Tu as 234 biscuits et tu veux les ranger dans des boîtes de 9 sans qu’il en reste. Tu pourrais poser la division, mais il y a plus rapide : additionne les chiffres. 2 + 3 + 4 = 9, et 9 est divisible par 9, donc 234 aussi. (Cela fait 26 boîtes.) Ce raccourci est un critère de divisibilité (on dit aussi caractère de divisibilité).

« Divisible par » veut dire « se divise exactement, avec un reste égal à 0 ». 234 est divisible par 9 car 234 ÷ 9 = 26 tout juste. Il n’est pas divisible par 5, car la division de 234 par 5 donne un reste de 4. On dit aussi que 234 est un multiple de 9 et que 9 est un diviseur de 234.

Les critères forment trois familles, ce qui aide à les retenir :

• Regarder les derniers chiffres. Pour 2, 5 et 10, le dernier chiffre suffit, car 10 est divisible par les trois. Pour 4 et 25, il faut les deux derniers chiffres, car 100 est divisible par 4 et par 25. Pour 8, les trois derniers, car 1000 est divisible par 8.
• Additionner les chiffres. 3 et 9 utilisent la somme des chiffres. Cela marche parce que 10, 100, 1000… valent chacun un multiple de 9 plus 1 (9, 99, 999) : un nombre et la somme de ses chiffres ont donc le même reste dans la division par 3 ou par 9.
• Combiner deux critères. 6 = 2 × 3, donc on vérifie 2 et 3. 12 = 3 × 4, donc on vérifie 3 et 4. Cela ne marche que si les deux nombres n’ont pas de diviseur commun autre que 1.

Il y a enfin deux critères spéciaux : 11 (on soustrait et on ajoute les chiffres en alternance) et 7 (on double le dernier chiffre et on le soustrait au reste). Ils demandent un peu d’entraînement mais évitent beaucoup de longues divisions.

Les critères servent pour les multiples et diviseurs, pour simplifier les fractions et pour repérer les nombres premiers : un nombre qui passe le test de 2, 3, 5, 7 ou 11 (et qui n’est pas ce nombre lui-même) ne peut pas être premier.

Pour trouver tous les diviseurs d’un nombre, on passe les critères dans cet ordre et on note tous ceux qui marchent. C’est le meilleur départ pour une décomposition en produit de facteurs premiers.

C’est quoi les critères de divisibilité ?#

Ce sont des règles pour savoir si un nombre est divisible par un autre sans poser la division. Les principaux : par 2 (dernier chiffre pair), par 3 (somme des chiffres divisible par 3), par 4 (deux derniers chiffres), par 5 (se termine par 0 ou 5), par 9 (somme des chiffres divisible par 9) et par 10 (se termine par 0).

C’est quoi le critère de divisibilité par 3 ?#

Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3. Pour 471 : 4 + 7 + 1 = 12, donc 471 est divisible par 3. Cela marche parce que 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1, etc. : 471 = 4 × 99 + 7 × 9 + (4 + 7 + 1).

C’est quoi les critères de divisibilité par 4 et par 8 ?#

Par 4 : le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par 4 (1316, car 16 = 4 × 4). Par 8 : le nombre formé par les trois derniers chiffres est divisible par 8 (7128, car 128 = 8 × 16).

Existe-t-il un critère de divisibilité par 7 ?#

Oui. On sépare le dernier chiffre, on le multiplie par 2 et on le soustrait au nombre formé par les autres chiffres. Si le résultat est divisible par 7 (0 compris), le nombre l’est aussi. Pour 203 : 20 − 6 = 14, donc 203 est divisible par 7.

Quel est le critère de divisibilité par 11 ?#

En partant de la droite, on soustrait et on ajoute les chiffres en alternance. Si le résultat vaut 0 ou un multiple de 11, le nombre est divisible par 11. Pour 2728 : 8 − 2 + 7 − 2 = 11, donc oui.

Comment retenir les critères de divisibilité ?#

En les classant : dernier chiffre pour 2, 5 et 10 ; deux derniers chiffres pour 4 et 25 ; trois derniers pour 8 ; somme des chiffres pour 3 et 9 ; combinaisons pour 6 et 12. Une affiche en classe avec un exemple par critère aide beaucoup.