Qu'est-ce que la loi normale, et comment l'utiliser ?

Pèse 1 000 pommes du même verger. Quelques-unes seront très légères, d'autres très lourdes, mais la plupart auront une masse proche de la moyenne. Si tu traces un histogramme des masses avec des barres de plus en plus fines, le contour devient une courbe lisse en cloche. Cette courbe est celle de la loi normale, aussi appelée loi de Gauss ou loi gaussienne, d'après le mathématicien Carl Friedrich Gauss.

Une loi normale est entièrement définie par deux nombres :

• la moyenne μ (l'espérance), qui place le centre de la cloche ;
• l'écart type σ, qui fixe sa largeur (voir écart type).

On écrit X ~ N(μ, σ²) : attention, le second nombre est la variance. N(60, 16) veut dire un écart type de 4.

Ses propriétés :

• Elle est symétrique par rapport à la moyenne, donc moyenne = médiane = mode.
• C'est une loi continue (une loi à densité) : X peut prendre n'importe quelle valeur réelle. On calcule donc la probabilité d'un intervalle, pas d'une valeur exacte : P(X = a) = 0.
• L'aire totale sous la courbe vaut 1, et l'aire entre deux valeurs est la probabilité de tomber entre elles.
• La courbe ne touche jamais l'axe des abscisses, mais presque toute l'aire est à moins de 3σ de la moyenne.

La règle 68-95-99,7 donne des estimations rapides : environ 68 % des valeurs sont dans l'intervalle [μ − σ ; μ + σ], environ 95 % dans [μ − 2σ ; μ + 2σ] et environ 99,7 % dans [μ − 3σ ; μ + 3σ].

Pour un calcul précis, on centre et on réduit. La valeur z indique à combien d'écarts types une valeur se trouve de la moyenne :

z = (x − μ) ÷ σ

Les valeurs z suivent la loi normale centrée réduite Z ~ N(0, 1), de moyenne 0 et d'écart type 1. La table (ou la calculatrice) donne Π(z) = P(Z ≤ z), l'aire à gauche de z. On la note aussi Φ(z).

Pour le calcul inverse (trouver x à partir d'une probabilité), cherche le z qui donne cette aire, puis x = μ + zσ.

Quelle est la formule de la loi normale ?#

Sa densité est f(x) = (1 ÷ (σ√(2π))) · e^(−(x − μ)² ÷ (2σ²)). En pratique, on centre et on réduit avec z = (x − μ) ÷ σ, puis on utilise la table ou la calculatrice.

Comment lire la table de la loi normale centrée réduite ?#

Cherche z au centième : la ligne donne les unités et les dixièmes, la colonne les centièmes. Le nombre lu est Π(z), la probabilité d'obtenir une valeur inférieure à z. Pour z = 1,23, prends la ligne 1,2 et la colonne 0,03.

Comment calculer une probabilité avec la calculatrice ?#

Ouvre le menu des lois de probabilité, choisis la loi normale (fonction de répartition, par exemple normalFRép sur les TI en français), puis entre la borne inférieure, la borne supérieure, μ et σ. Pour « inférieur à 66 », mets une borne inférieure très petite, comme −10⁹⁹.

Comment utiliser la loi normale sur Excel ?#

=LOI.NORMALE.N(x; moyenne; écart_type; VRAI) donne P(X ≤ x). =LOI.NORMALE.STANDARD.N(z; VRAI) donne Π(z), et =LOI.NORMALE.INVERSE.N(p; moyenne; écart_type) fait le calcul inverse.

La loi normale est-elle au programme de terminale ?#

Elle y a longtemps figuré. Les programmes ont changé avec la réforme du lycée de 2019 : vérifiez le programme officiel de l'année (spécialité ou option mathématiques complémentaires). Elle reste incontournable dans l'enseignement supérieur (BTS, BUT, licence).

À quoi sert la loi normale ?#

À modéliser des données qui se regroupent symétriquement autour d'une moyenne (tailles, erreurs de mesure, remplissage par une machine), à juger si une valeur est inhabituelle et à construire de nombreux tests statistiques.