Mathématiques
Qu'est-ce que la variance et l'écart type, et comment les calculer ?
Réponse rapide
La variance et l'écart type mesurent la dispersion des données autour de la moyenne. La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne ; l'écart type est sa racine carrée.
En une phrase
La variance et l'écart type indiquent à quel point une série de nombres est dispersée : une petite valeur signifie que les données sont proches de la moyenne, une grande valeur qu'elles en sont éloignées.
Explication
Imagine deux basketteuses qui marquent en moyenne 14 points par match. L'une marque 12, 14 ou 16 presque à chaque fois. L'autre marque 4 un soir et 24 le suivant. La moyenne est la même, mais ce sont deux joueuses très différentes. L'écart type est le nombre qui capte cette différence : il mesure la régularité, autrement dit la dispersion.
ballon de foot
règle
horloge
L'idée est de regarder à quelle distance chaque valeur se trouve de la moyenne. Ces distances s'appellent les écarts. Certains sont positifs, d'autres négatifs, et leur somme vaut toujours zéro : on ne peut donc pas simplement en faire la moyenne. On élève chaque écart au carré (il devient positif), puis on calcule la moyenne de ces carrés. C'est la variance :
V = Σ(x − x̄)² ÷ n
La variance s'exprime en unités au carré (cm², points²), ce qui est peu parlant. On prend donc la racine carrée pour revenir à l'unité des données. C'est l'écart type :
σ = √V
Les notations : σ (sigma minuscule) désigne l'écart type et V ou σ² la variance ; pour un échantillon on écrit souvent s et s². Σ (sigma majuscule) signifie « on additionne tout », x̄ est la moyenne et n l'effectif.
Population ou échantillon ? Si tes données représentent tout le groupe étudié, on divise par n. Si c'est un échantillon qui sert à estimer une population plus grande, on divise par n − 1 : on obtient une valeur un peu plus grande, qui corrige le fait qu'un échantillon a tendance à sous-estimer la dispersion. Au lycée, on divise presque toujours par n ; c'est ce que fait cette page, sauf mention « échantillon ».
Il existe une formule plus rapide qui évite de calculer chaque écart : V = (Σx² ÷ n) − x̄², « la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne ». Elle donne exactement le même résultat ; c'est celle qu'utilisent les calculatrices.
Exemples
Série : 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 (n = 8). La moyenne vaut 40 ÷ 8 = 5.
| x | Écart x − 5 | Au carré |
|---|---|---|
| 2 | −3 | 9 |
| 4 | −1 | 1 |
| 4 | −1 | 1 |
| 4 | −1 | 1 |
| 5 | 0 | 0 |
| 5 | 0 | 0 |
| 7 | 2 | 4 |
| 9 | 4 | 16 |
La somme des carrés vaut 32. Variance = 32 ÷ 8 = 4. Écart type = √4 = 2.
Revenons aux deux joueuses sur cinq matchs. Joueuse A : 10, 12, 14, 16, 18. Joueuse B : 4, 8, 14, 20, 24. Les deux moyennes valent 14. Pour A, les carrés des écarts sont 16, 4, 0, 4, 16 (somme 40) : variance 8 et écart type √8 ≈ 2,83. Pour B, ce sont 100, 36, 0, 36, 100 (somme 272) : variance 54,4 et écart type ≈ 7,38. La joueuse A est bien plus régulière.
Erreurs fréquentes
- Oublier d'élever les écarts au carré. Les écarts bruts ont toujours une somme nulle. Correction : élève chaque écart au carré avant d'additionner.
- S'arrêter à la variance. Correction : si l'on demande l'écart type, prends la racine carrée à la fin.
- Confondre n et n − 1. Correction : population → division par n ; échantillon → division par n − 1. Sur la calculatrice, σx correspond à la division par n et sx à la division par n − 1.
- Mal placer le carré de la moyenne. Dans la formule rapide, c'est (Σx² ÷ n) − x̄², et non Σx² ÷ n² ou (Σx)² ÷ n.
Étape par étape
Étape par étape
- Calcule la moyenneAdditionne toutes les valeurs et divise par l'effectif.
- Calcule chaque écartSoustrais la moyenne à chaque valeur (x − x̄).
- Élève au carréÉlève chaque écart au carré pour qu'ils soient tous positifs.
- Fais la moyenne des carrésAdditionne-les et divise par n (ou par n − 1 pour un échantillon). C'est la variance.
- Prends la racineLa racine carrée de la variance donne l'écart type, dans la même unité que les données.
Avec un tableau d'effectifs, on pondère : moyenne = Σnᵢxᵢ ÷ N et variance = (Σnᵢxᵢ² ÷ N) − moyenne². Pour des données regroupées en classes, on prend le centre de chaque classe comme valeur ; le résultat est alors une estimation.
Exercices
Variance et écart type
Fais chaque exercice, puis vérifie ta réponse.
- Quel est l'écart type de 4, 4, 4, 4 ?
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Toutes les valeurs sont égales à la moyenne : 0 - La variance vaut 25. Quel est l'écart type ?
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√25 = 5 - L'écart type vaut 3. Quelle est la variance ?
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3² = 9 - Calcule la variance de 2, 4, 6, 8.
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Moyenne 5 ; carrés 9, 1, 1, 9 ; somme 20 ; 20 ÷ 4 = 5 - Calcule l'écart type de 2, 4, 6, 8.
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√5 ≈ 2,24 (au centième) - Calcule l'écart type de 1, 3, 5, 7, 9.
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Moyenne 5 ; carrés 16, 4, 0, 4, 16 = 40 ; variance 8 ; √8 ≈ 2,83 - Calcule l'écart type de 3, 5, 7.
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Moyenne 5 ; carrés 4, 0, 4 = 8 ; variance 8 ÷ 3 ≈ 2,67 ; σ ≈ 1,63 - Sans refaire le calcul, donne l'écart type de 13, 15, 17.
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C'est 3, 5, 7 avec 10 ajouté à chaque valeur : la dispersion ne change pas, ≈ 1,63 - On double toutes les valeurs d'une série. Que deviennent l'écart type et la variance ?
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L'écart type est multiplié par 2 et la variance par 4. - Calcule l'écart type de 5, 7, 8, 10, 15.
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Moyenne 9 ; carrés 16, 4, 1, 1, 36 = 58 ; variance 11,6 ; σ = √11,6 ≈ 3,41 - n = 5, Σx = 30 et Σx² = 200. Calcule l'écart type.
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Moyenne 6 ; variance 200 ÷ 5 − 6² = 40 − 36 = 4 ; σ = 2 - Calcule l'écart type d'échantillon s (division par n − 1) de 2, 4, 6, 8.
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Somme des carrés 20 ; s² = 20 ÷ 3 ≈ 6,67 ; s ≈ 2,58 - Les valeurs 1, 2, 3 ont pour effectifs 2, 5, 3. Calcule l'écart type.
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N = 10, Σnx = 21, moyenne 2,1 ; Σnx² = 49 ; variance 4,9 − 4,41 = 0,49 ; σ = 0,7 - La série A est 48, 50, 52 et la série B est 30, 50, 70. Laquelle a le plus grand écart type ?
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Même moyenne (50), mais les valeurs de B en sont bien plus loin : la série B
Problèmes
La dispersion dans la vie réelle
Fais chaque exercice, puis vérifie ta réponse.
- Les températures à midi pendant une semaine étaient 18, 20, 21, 19, 22, 23 et 17 °C. Calcule l'écart type.
Voir la réponse
Moyenne 140 ÷ 7 = 20 ; carrés 4, 0, 1, 1, 4, 9, 9 = 28 ; variance 4 ; σ = 2 °C - Un croissant coûte 1,20 €, 1,40 €, 1,50 € et 1,90 € dans quatre boulangeries. Calcule l'écart type des prix.
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Moyenne 1,50 € ; carrés 0,09 ; 0,01 ; 0 ; 0,16 = 0,26 ; variance 0,065 ; σ ≈ 0,25 € (au centième) - Un contrôle a une moyenne de 70 et un écart type de 5. Ana obtient 80. À combien d'écarts types au-dessus de la moyenne se trouve-t-elle ?
Voir la réponse
(80 − 70) ÷ 5 = 2 écarts types au-dessus - Une machine remplit des sachets de riz avec une moyenne de 1000 g et un écart type de 4 g. Un sachet pèse 992 g. Est-ce inhabituel ?
Voir la réponse
(992 − 1000) ÷ 4 = −2 : il est 2 écarts types en dessous de la moyenne, assez inhabituel. - Deux sprinteurs ont la même moyenne sur 100 m. X a σ = 0,1 s et Y a σ = 0,4 s. Lequel est le plus régulier ?
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Plus petit écart type, moins de dispersion : le sprinteur X
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre la variance et l'écart type ?
Les deux mesurent la dispersion. La variance est la moyenne des carrés des écarts, donc en unités au carré ; l'écart type est sa racine carrée, dans la même unité que les données, ce qui le rend plus facile à interpréter.
Comment interpréter l'écart type ?
Un grand écart type signifie que les valeurs sont très dispersées autour de la moyenne ; un petit écart type, qu'elles sont regroupées près d'elle. On l'utilise souvent avec la moyenne : « moyenne 12, écart type 2 ».
Quels sont les symboles de la variance et de l'écart type ?
σ pour l'écart type et V ou σ² pour la variance ; s et s² pour un échantillon. Pour une variable aléatoire X, on écrit V(X) et σ(X) = √V(X).
Quel lien avec l'espérance ?
Pour une variable aléatoire, l'espérance E(X) joue le rôle de la moyenne, et la variance est V(X) = E((X − E(X))²), soit aussi E(X²) − E(X)². L'écart type reste la racine carrée de la variance.
Comment calculer l'écart type sur Excel ?
=ECARTYPE.PEARSON(A1:A10) pour une population (division par n) et =ECARTYPE.STANDARD(A1:A10) pour un échantillon (division par n − 1). VAR.P.N et VAR.S donnent les variances.
À quoi sert l'écart type ?
À comparer la régularité (sport, prix, notes), à mesurer le risque en finance et à décrire la loi normale, dont il fixe la largeur.
Mini-quiz
Variance et écart type
Vérifie ce que tu sais avec 4 questions rapides.
Question 1 sur 4
Quel est l'écart type de la série 5, 5, 5, 5 ?
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