Qu'est-ce que la loi binomiale, et comment utiliser sa formule ?

Une footballeuse réussit 80 % de ses penalties. Elle en tire 5. Quelle est la probabilité qu'elle en marque exactement 4 ? Chaque penalty est une épreuve de Bernoulli : deux issues, succès (but) ou échec (raté), avec une probabilité de succès p = 0,8. Répéter 5 fois cette épreuve de façon identique et indépendante, c'est un schéma de Bernoulli. Le nombre de buts X peut valoir 0, 1, 2, 3, 4 ou 5, et la loi binomiale donne la probabilité de chaque valeur.

Les conditions à vérifier :

• deux issues à chaque épreuve : succès ou échec ;
• des épreuves indépendantes : l'une n'influence pas les autres ;
• un nombre d'épreuves n fixé à l'avance ;
• une probabilité de succès p identique à chaque épreuve.

On note alors X ~ B(n ; p) : « X suit la loi binomiale de paramètres n et p ». La formule est

P(X = k) = (k parmi n) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ

Chaque morceau a un rôle. pᵏ est la probabilité des k succès, (1 − p)ⁿ⁻ᵏ celle des n − k échecs, et le coefficient binomial « k parmi n » compte le nombre de chemins de l'arbre qui contiennent exactement k succès. Pour 5 penalties avec 4 buts, le raté peut être le 1er, le 2e, le 3e, le 4e ou le 5e : « 4 parmi 5 » = 5. On le trouve avec la touche nCr (ou Combinaison) de la calculatrice, avec le triangle de Pascal, ou avec n! ÷ (k! × (n − k)!).

Donc P(X = 4) = 5 × 0,8⁴ × 0,2 = 5 × 0,4096 × 0,2 = 0,4096.

Trois résultats à connaître :

• Espérance : E(X) = np. Sur 5 penalties, elle marque en moyenne 5 × 0,8 = 4 buts.
• Variance : V(X) = np(1 − p), et l'écart type est σ(X) = √(np(1 − p)). Voir écart type.
• Probabilités cumulées : P(X ≤ k) additionne P(X = 0) jusqu'à P(X = k). La calculatrice les donne directement.

La loi binomiale est une loi discrète : X ne prend que des valeurs entières de 0 à n. Elle est symétrique quand p = 0,5, étalée vers la droite quand p est petit et vers la gauche quand p est proche de 1. Quand n est grand et que p n'est pas trop proche de 0 ou de 1, sa forme se rapproche de la courbe en cloche de la loi normale.

Comment justifier qu'une variable suit une loi binomiale ?#

On rédige : « On répète n fois, de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli dont le succès (à préciser) a pour probabilité p. X compte le nombre de succès, donc X suit la loi binomiale B(n ; p). »

C'est quoi n et k dans la loi binomiale ?#

n est le nombre d'épreuves répétées (5 penalties) et k le nombre de succès dont on cherche la probabilité (4 buts). p est la probabilité de succès à chaque épreuve.

Comment calculer la loi binomiale avec la calculatrice ?#

Sur TI : binomFdp(n, p, k) donne P(X = k) et binomFRép(n, p, k) donne P(X ≤ k). Sur Casio : menu STAT, puis DIST, puis BINOMIAL, avec Bpd pour P(X = k) et Bcd pour P(X ≤ k). Pour B(5 ; 0,8), P(X = 4) = 0,4096.

Quelle est la formule de l'espérance et de la variance ?#

E(X) = np, V(X) = np(1 − p) et σ(X) = √(np(1 − p)). Pour B(20 ; 0,25) : E(X) = 5, V(X) = 3,75 et σ(X) ≈ 1,936.

Quelle différence entre loi binomiale et loi de Poisson ?#

La loi binomiale compte des succès sur un nombre n d'épreuves fixé. La loi de Poisson compte des événements sur une durée ou un espace donnés (appels reçus en une heure, par exemple), sans nombre d'épreuves fixé.

Qu'est-ce que la loi binomiale négative ?#

Elle renverse la question : au lieu de fixer n et de compter les succès, elle compte le nombre d'épreuves (ou d'échecs) nécessaires pour atteindre un nombre de succès fixé.