Mathématiques
Que sont les effectifs cumulés croissants et décroissants, et comment les calculer ?
Réponse rapide
L'effectif cumulé croissant (ECC) d'une valeur est le nombre de données inférieures ou égales à cette valeur : on additionne les effectifs au fur et à mesure. Le dernier ECC est l'effectif total.
En une phrase
L'effectif cumulé croissant d'une valeur, c'est le nombre de données qui sont inférieures ou égales à cette valeur : un total qui grossit à chaque ligne du tableau.
Explication
On demande à 80 élèves combien de minutes ils ont passé sur leurs devoirs hier soir. L'effectif d'une classe, c'est le nombre d'élèves dans cette classe, par exemple « entre 20 et 30 minutes ». L'effectif cumulé croissant (ECC) répond à une autre question : combien d'élèves ont travaillé 30 minutes ou moins ? Pour l'obtenir, on additionne les effectifs au fur et à mesure en descendant dans le tableau.
horloge
cahier
crayon
La règle :
ECC d'une ligne = effectif de la ligne + ECC de la ligne précédente
Le premier ECC est égal au premier effectif. Le dernier ECC est toujours l'effectif total N : c'est un bon moyen de vérifier ses additions. Les données viennent souvent d'un tableau de comptage.
On rencontre aussi :
- les effectifs cumulés décroissants (ECD) : le nombre de données supérieures ou égales à une valeur. On part du total et on retire les effectifs un à un. Le premier ECD est N, le dernier est l'effectif de la dernière valeur.
- les fréquences cumulées croissantes (FCC) : ECC ÷ N, souvent en pourcentage. La dernière vaut 1, soit 100 %.
À quoi ça sert ? Avec les ECC, une question comme « combien d'élèves ont travaillé 20 minutes ou moins ? » se lit directement. Et surtout, ils permettent de trouver la médiane et les quartiles.
La courbe des effectifs cumulés. Pour une série regroupée en classes, on place chaque ECC à la borne supérieure de sa classe, car à ce moment-là tous les élèves de la classe sont comptés. On commence avec 0 à la borne inférieure de la première classe, puis on relie les points par des segments : c'est le polygone des effectifs cumulés croissants. La courbe ne descend jamais. Les ECD, eux, se placent à la borne inférieure de chaque classe, et la courbe des ECD coupe celle des ECC à la hauteur N ÷ 2, au niveau de la médiane.
Pour lire la courbe, on part de l'axe vertical, on va horizontalement jusqu'à la courbe, puis on descend sur l'axe horizontal. Avec N données :
- la médiane se lit à la hauteur N ÷ 2 ;
- le premier quartile Q₁ à la hauteur N ÷ 4 ;
- le troisième quartile Q₃ à la hauteur 3N ÷ 4 ;
- l'écart interquartile est Q₃ − Q₁ : il mesure la dispersion de la moitié centrale des données.
Pour une série en classes, ces valeurs sont des estimations. Voir aussi moyenne, médiane et mode et les histogrammes, qui représentent les mêmes classes par des rectangles.
Exemples
Temps de devoirs de 80 élèves :
| Temps t (min) | Effectif | ECC | ECD | Point de la courbe des ECC |
|---|---|---|---|---|
| ]0 ; 10] | 6 | 6 | 80 | (10 ; 6) |
| ]10 ; 20] | 14 | 6 + 14 = 20 | 74 | (20 ; 20) |
| ]20 ; 30] | 20 | 20 + 20 = 40 | 60 | (30 ; 40) |
| ]30 ; 40] | 20 | 40 + 20 = 60 | 40 | (40 ; 60) |
| ]40 ; 50] | 15 | 60 + 15 = 75 | 20 | (50 ; 75) |
| ]50 ; 60] | 5 | 75 + 5 = 80 | 5 | (60 ; 80) |
On place aussi le point (0 ; 0). Exemple corrigé : N = 80, donc on lit la médiane à la hauteur 40, Q₁ à 20 et Q₃ à 60. La courbe passe par (30 ; 40), (20 ; 20) et (40 ; 60) : médiane = 30 minutes, Q₁ = 20 minutes, Q₃ = 40 minutes, et l'écart interquartile vaut 40 − 20 = 20 minutes. Le tableau montre aussi que 80 − 75 = 5 élèves ont travaillé plus de 50 minutes.
Pour une série de valeurs isolées, les ECC donnent la médiane directement. Animaux de 30 élèves : 0 animal : 8, 1 : 10, 2 : 7, 3 : 3, 4 : 2. ECC : 8, 18, 25, 28, 30. N = 30 est pair : la médiane est la moyenne des 15ᵉ et 16ᵉ valeurs. Les deux sont dans la ligne « 1 animal » (valeurs 9 à 18), donc la médiane vaut 1.
Erreurs fréquentes
- Placer l'ECC au centre de la classe. Correction : l'ECC va à la borne supérieure. Le centre sert à calculer une moyenne.
- Oublier le point de départ. Correction : place 0 à la borne inférieure de la première classe.
- Lire la médiane au milieu de l'axe horizontal. Correction : on part de la hauteur N ÷ 2 sur l'axe vertical.
- Confondre croissants et décroissants. Correction : ECC = « inférieur ou égal », il augmente ; ECD = « supérieur ou égal », il diminue.
Étape par étape
Étape par étape
- Ajoute une ligne ou une colonne ECCÀ côté des effectifs.
- CumuleRecopie le premier effectif, puis ajoute chaque nouvel effectif à l'ECC précédent.
- VérifieLe dernier ECC doit être l'effectif total N. Pour les fréquences cumulées, divise chaque ECC par N.
- Trace la courbePlace chaque ECC à la borne supérieure de sa classe, ajoute 0 au début et relie les points.
- Lis la courbePars de N ÷ 2 pour la médiane, de N ÷ 4 et 3N ÷ 4 pour les quartiles, puis descends sur l'axe.
Pour les ECD, fais l'inverse : pars de N et soustrais chaque effectif. Pour retrouver un effectif à partir des ECC, soustrais l'ECC précédent.
Exercices
Effectifs cumulés
Fais chaque exercice, puis vérifie ta réponse.
- Les effectifs sont 3, 5, 2 et 6. Écris les effectifs cumulés croissants.
Voir la réponse
3, 3 + 5 = 8, 8 + 2 = 10, 10 + 6 = 16 : 3, 8, 10, 16 - Pointures : 36 : 4 élèves, 37 : 7, 38 : 9, 39 : 5. Quel est l'ECC de la pointure 38 ?
Voir la réponse
4 + 7 + 9 = 20 - Dans l'exercice 2, combien y a-t-il d'élèves en tout ?
Voir la réponse
20 + 5 = 25 (le dernier ECC) - Les ECC sont 5, 12, 20, 26, 30. Quel est l'effectif de la troisième classe ?
Voir la réponse
20 − 12 = 8 - Dans l'exercice 4, quel est l'effectif de la dernière classe ?
Voir la réponse
30 − 26 = 4 - Une courbe des ECC représente 60 données. À quelle hauteur lit-on la médiane ?
Voir la réponse
60 ÷ 2 = 30 - Pour ces 60 données, à quelle hauteur lit-on les quartiles ?
Voir la réponse
Q₁ à 60 ÷ 4 = 15, Q₃ à 3 × 60 ÷ 4 = 45 - Q₁ = 24 et Q₃ = 38. Calcule l'écart interquartile.
Voir la réponse
38 − 24 = 14 - Notes de 25 élèves : 1 : 2, 2 : 5, 3 : 8, 4 : 6, 5 : 4. Trouve la médiane.
Voir la réponse
ECC : 2, 7, 15, 21, 25. La 13ᵉ valeur est dans la ligne de la note 3 (valeurs 8 à 15) : médiane 3 - Dans l'exercice 9, quel pourcentage d'élèves a eu 4 ou moins ?
Voir la réponse
21 ÷ 25 = 0,84 = 84 % - Tailles : ]140 ; 150] : 5, ]150 ; 160] : 15, ]160 ; 170] : 12, ]170 ; 180] : 8. Quels points places-tu ?
Voir la réponse
ECC 5, 20, 32, 40 : (140 ; 0), (150 ; 5), (160 ; 20), (170 ; 32), (180 ; 40) - Buts marqués en 20 matchs : 0 but : 3, 1 : 6, 2 : 5, 3 : 4, 4 : 2. Trouve la médiane.
Voir la réponse
ECC : 3, 9, 14, 18, 20. Les 10ᵉ et 11ᵉ valeurs sont dans la ligne « 2 buts » : médiane 2 buts - Une courbe des ECC pour 40 données passe par (20 ; 10), (30 ; 20) et (40 ; 30). Estime la médiane et l'écart interquartile.
Voir la réponse
Médiane à la hauteur 20 : 30. Quartiles aux hauteurs 10 et 30 : 20 et 40, écart = 40 − 20 = 20 - Dans l'exercice 13, la courbe passe aussi par (50 ; 36). Combien de données sont supérieures à 50 ?
Voir la réponse
40 − 36 = 4 - 120 élèves ont passé un contrôle et l'ECC à 60 points est 90. Quel pourcentage a eu 60 points ou moins ?
Voir la réponse
90 ÷ 120 = 0,75 = 75 %
Problèmes
Les effectifs cumulés dans la vie réelle
Fais chaque exercice, puis vérifie ta réponse.
- Un magasin vend 12 vélos lundi, 15 mardi, 9 mercredi et 14 jeudi. Quel jour le total des ventes dépasse-t-il 30 pour la première fois ?
Voir la réponse
Cumuls 12, 27, 36, 50 : mercredi - Dans une course, 150 des 200 coureurs ont fini en moins de 4 heures. Combien ont mis plus longtemps, et quel pourcentage a fini en moins de 4 heures ?
Voir la réponse
200 − 150 = 50 coureurs ; 150 ÷ 200 = 75 % - 80 élèves ont passé un examen et 28 ont eu 50 points ou moins. Il faut plus de 50 pour réussir. Combien ont réussi ?
Voir la réponse
80 − 28 = 52 élèves - Les piles de la marque A ont une médiane de 38 heures et un écart interquartile de 9 heures ; celles de la marque B, une médiane de 36 heures et un écart de 4 heures. Quelle marque est la plus régulière ?
Voir la réponse
La marque B : son écart interquartile plus petit montre que la moitié centrale de ses piles a des durées plus proches. - Pluie : janvier 60 mm, février 45 mm, mars 50 mm, avril 40 mm. Quel est le cumul de pluie à la fin d'avril ?
Voir la réponse
60 + 45 + 50 + 40 = 195 mm
Questions fréquentes
C'est quoi un effectif cumulé en statistique ?
C'est le nombre de données inférieures ou égales à une valeur (effectif cumulé croissant) ou supérieures ou égales à une valeur (effectif cumulé décroissant). On l'obtient en additionnant les effectifs.
Comment calculer les effectifs cumulés croissants ?
On recopie le premier effectif, puis chaque ECC est l'ECC précédent plus l'effectif de la ligne. Le dernier doit être égal à l'effectif total.
Comment calculer les effectifs cumulés décroissants ?
On part de l'effectif total, puis on retire à chaque fois l'effectif de la valeur précédente. Pour les effectifs 3, 5, 2, 6, les ECD sont 16, 13, 8, 6.
Comment trouver la médiane avec les effectifs cumulés ?
Pour une série de valeurs isolées, la médiane est la valeur du milieu : la ((N + 1) ÷ 2)ᵉ si N est impair, la moyenne des (N ÷ 2)ᵉ et (N ÷ 2 + 1)ᵉ si N est pair. Les ECC disent dans quelle ligne elle se trouve. Pour une série en classes, on lit la courbe à la hauteur N ÷ 2.
Comment trouver les quartiles avec les ECC ?
Q₁ est la plus petite valeur telle qu'au moins 25 % des données lui soient inférieures ou égales : c'est la première valeur dont l'ECC atteint N ÷ 4. Q₃ fonctionne pareil avec 75 %, donc 3N ÷ 4.
Comment calculer les effectifs cumulés sur Excel ?
Si les effectifs sont en B2:B7, écris =SOMME($B$2:B2) en C2 et tire la formule vers le bas. Le $ bloque le début de la plage pendant que la fin avance.
Mini-quiz
Effectifs cumulés
Vérifie ce que tu sais avec 4 questions rapides.
Question 1 sur 4
Les effectifs d'un tableau sont 4, 6 et 5. Quel est le dernier effectif cumulé croissant ?
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Fiches de statistiques
Entraîne-toi pas à pas dans un cours complet : Maths · 2de
Pour les adultes
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Les histogrammes
Un histogramme représente des données regroupées en classes par des rectangles accolés sur un axe gradué. Si les amplitudes diffèrent, l'aire de chaque rectangle donne l'effectif.
Moyenne, médiane et mode
Moyenne, médiane et mode sont trois valeurs « typiques ». La moyenne partage le total à parts égales, la médiane est la valeur du milieu une fois rangées, le mode est la valeur la plus fréquente.
Les tableaux de pointage
Un tableau de pointage sert à compter en traçant un trait par élément, par groupes de cinq : quatre traits barrés par un cinquième. On additionne ensuite chaque groupe.
Le polygone des effectifs
Le polygone des effectifs est un graphique en lignes pour une série regroupée en classes : on place l'effectif de chaque classe au-dessus de son centre et on relie les points par des segments.
Quartiles et écart interquartile
Les quartiles Q₁ et Q₃ partagent une série ordonnée en quarts. L'écart interquartile est Q₃ − Q₁ : il mesure la dispersion de la moitié centrale des données.
Fréquence relative
La fréquence relative est l'effectif d'une valeur divisé par l'effectif total. Si 6 élèves sur 20 viennent à pied, la fréquence est 6/20 = 0,3, soit 30 %.