Mathématiques
Que sont les quartiles, et comment calculer l'écart interquartile ?
Réponse rapide
Les quartiles Q₁ et Q₃ partagent une série ordonnée en quarts. L'écart interquartile est Q₃ − Q₁ : il mesure la dispersion de la moitié centrale des données.
En une phrase
Les quartiles Q₁ et Q₃ sont, avec la médiane, les valeurs qui partagent une série statistique ordonnée en quatre parts d'effectif à peu près égal, et l'écart interquartile Q₃ − Q₁ mesure la dispersion de la moitié centrale des données.
Explication
Range onze élèves selon leur note à un contrôle, de la plus basse à la plus haute. L'élève du milieu a la médiane. Les quartiles découpent la série un peu plus finement :
- Q₁, le premier quartile : au moins 25 % des valeurs sont inférieures ou égales à Q₁.
- la médiane (parfois notée Q₂ ou Me) : elle partage la série en deux moitiés.
- Q₃, le troisième quartile : au moins 75 % des valeurs sont inférieures ou égales à Q₃.
cahier
règle
loupe
La définition utilisée en France est précise : Q₁ est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins 25 % des valeurs lui soient inférieures ou égales, et Q₃ la plus petite valeur telle qu'au moins 75 % des valeurs lui soient inférieures ou égales. En pratique, avec n valeurs rangées dans l'ordre croissant :
- on calcule n/4 et on arrondit à l'entier supérieur (s'il n'est pas déjà entier) : c'est le rang de Q₁ ;
- on calcule 3n/4 et on arrondit de même : c'est le rang de Q₃.
Avec cette définition, Q₁ et Q₃ sont toujours des valeurs de la série. D'autres pays prennent la médiane de chaque moitié ; avec 7, 11, 15, 19… valeurs (et aussi 6, 10, 14…), les deux méthodes donnent exactement les mêmes quartiles.
L'écart interquartile se calcule ainsi :
Écart interquartile = Q₃ − Q₁
Il s'exprime dans la même unité que les données. L'intervalle [Q₁ ; Q₃] s'appelle l'intervalle interquartile : il contient environ la moitié des valeurs, celles du milieu.
Pourquoi ne pas se contenter de l'étendue (maximum − minimum) ? Parce que l'étendue dépend des deux valeurs extrêmes, et une seule valeur exceptionnelle (une valeur aberrante) peut la rendre énorme. L'écart interquartile laisse de côté le quart du bas et le quart du haut : il montre si les valeurs « typiques » sont serrées ou dispersées. Petit écart : la moitié centrale est homogène. Grand écart : elle est étalée.
Avec le minimum, la médiane et le maximum, Q₁ et Q₃ servent à tracer le diagramme en boîte (ou boîte à moustaches). La boîte va de Q₁ à Q₃ : sa longueur est l'écart interquartile. Pour une grande série, on lit les quartiles grâce aux effectifs cumulés. La médiane est expliquée dans moyenne, médiane et mode, et l'écart type est la mesure de dispersion qui utilise toutes les valeurs.
Exemples
Exemple corrigé : les notes (sur 50) de 11 élèves sont 18, 22, 25, 27, 30, 31, 33, 36, 38, 41, 45.
- Médiane : la 6e valeur, 31.
- Q₁ : 11/4 = 2,75, donc rang 3 : Q₁ = 25.
- Q₃ : 33/4 = 8,25, donc rang 9 : Q₃ = 38.
- Écart interquartile = 38 − 25 = 13 points. (L'étendue vaut 45 − 18 = 27 points.)
| Série ordonnée | n | Q₁ | Médiane | Q₃ | Écart |
|---|---|---|---|---|---|
| 2, 4, 5, 7, 9, 10, 13 | 7 | 4 | 7 | 10 | 6 |
| 1, 3, 3, 6, 8, 9, 11, 14, 15, 18, 20 | 11 | 3 | 9 | 15 | 12 |
| 10, 12, 15, 16, 19, 22 | 6 | 12 | 15,5 | 19 | 7 |
| 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 17, 20 | 10 | 6 | 10 | 14 | 8 |
Dernière ligne : n = 10, la médiane est (9 + 11)/2 = 10 ; 10/4 = 2,5 donne le rang 3 (Q₁ = 6) et 30/4 = 7,5 le rang 8 (Q₃ = 14).
Exemple avec une valeur aberrante : l'argent de poche hebdomadaire de sept amis est de 4 €, 5 €, 5 €, 6 €, 7 €, 8 € et 30 €. Q₁ = 5 € et Q₃ = 8 €, donc l'écart interquartile vaut 3 €, alors que l'étendue vaut 26 €. Les 30 € gonflent l'étendue, mais l'écart interquartile montre que la plupart reçoivent des sommes proches.
Erreurs fréquentes
- Oublier de ranger la série. Les rangs n'ont de sens que sur des valeurs triées. Remède : réécris la série dans l'ordre croissant et vérifie que tu as toujours n valeurs.
- Arrondir le rang à l'entier le plus proche. 2,25 donne le rang 3, pas 2 : on arrondit toujours au-dessus.
- Donner les quartiles au lieu de l'écart. « Q₁ = 25 et Q₃ = 38 » ne répond pas à « calcule l'écart interquartile ». Termine par Q₃ − Q₁ = 13.
- Confondre écart interquartile et étendue. L'étendue utilise les extrêmes (max − min), l'écart interquartile les quartiles (Q₃ − Q₁).
Étape par étape
Étape par étape
- RangerÉcris les valeurs dans l'ordre croissant et compte l'effectif total n.
- Rang de Q₁Calcule n/4 et arrondis à l'entier supérieur ; Q₁ est la valeur de ce rang.
- Rang de Q₃Calcule 3n/4 et arrondis à l'entier supérieur ; Q₃ est la valeur de ce rang.
- SoustraireÉcart interquartile = Q₃ − Q₁, avec l'unité.
- VérifierQ₁ ≤ médiane ≤ Q₃, et environ la moitié des valeurs est dans [Q₁ ; Q₃].
Pour repérer les valeurs aberrantes, une règle courante dit qu'une valeur est aberrante si elle est à plus de 1,5 × (Q₃ − Q₁) en dessous de Q₁ ou au-dessus de Q₃.
Exercices
Quartiles et écart interquartile
Fais chaque exercice, puis vérifie ta réponse.
- Q₁ = 12 et Q₃ = 20. Calcule l'écart interquartile.
Voir la réponse
20 − 12 = 8 - Le premier quartile vaut 3,5 et le troisième 9,2. Calcule l'écart interquartile.
Voir la réponse
9,2 − 3,5 = 5,7 - Détermine Q₁, la médiane et Q₃ de la série 2, 3, 5, 6, 8, 9, 11.
Voir la réponse
n = 7 ; rangs 2 et 6 ; médiane = 4e valeur : Q₁ = 3, médiane = 6, Q₃ = 9 - Calcule l'écart interquartile de la série de l'exercice 3.
Voir la réponse
9 − 3 = 6 - Calcule l'écart interquartile de 9, 4, 7, 1, 12, 6, 10.
Voir la réponse
Rangée : 1, 4, 6, 7, 9, 10, 12. Q₁ = 4, Q₃ = 10 : écart = 6 - Détermine les quartiles et l'écart interquartile de 14, 15, 15, 17, 18, 20, 21, 23, 24, 26, 30.
Voir la réponse
Médiane 20 (6e valeur) ; Q₁ = 3e valeur = 15, Q₃ = 9e valeur = 24 : écart = 9 - Calcule l'écart interquartile de 5, 8, 9, 12, 14, 20.
Voir la réponse
6/4 = 1,5 donne le rang 2 : Q₁ = 8 ; 18/4 = 4,5 donne le rang 5 : Q₃ = 14. Écart = 6 - Détermine la médiane et l'écart interquartile de 21, 23, 24, 26, 27, 29, 31, 32, 35, 40.
Voir la réponse
Médiane (27 + 29)/2 = 28 ; Q₁ = 24 (rang 3), Q₃ = 32 (rang 8) : écart = 8 - Un diagramme en boîte indique : minimum 4, Q₁ = 10, médiane 15, Q₃ = 22, maximum 30. Calcule l'écart interquartile et l'étendue.
Voir la réponse
Écart = 22 − 10 = 12 ; étendue = 30 − 4 = 26 - Dans le diagramme de l'exercice 9, quel pourcentage des valeurs est supérieur à 10 ?
Voir la réponse
10 est Q₁, donc environ 75 % des valeurs sont au-dessus. - Q₁ = 20 et Q₃ = 30. Avec la règle des 1,5 × écart, 50 est-il une valeur aberrante ?
Voir la réponse
Écart = 10, limite haute 30 + 1,5 × 10 = 45. Comme 50 > 45 : oui. - 19 est-il une valeur aberrante dans la série 3, 4, 4, 5, 6, 7, 19 ?
Voir la réponse
Q₁ = 4, Q₃ = 7, écart = 3 ; limite haute 7 + 4,5 = 11,5. Oui, 19 > 11,5. - Calcule l'écart interquartile de 2, 3, 5, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 13, 13, 15, 17, 18, 21.
Voir la réponse
n = 15 ; médiane = 8e valeur = 10 ; Q₁ = 4e valeur = 5 ; Q₃ = 12e valeur = 15 : écart = 10 - Q₁ = 7 et l'écart interquartile vaut 9. Que vaut Q₃ ?
Voir la réponse
7 + 9 = 16 - Calcule l'écart interquartile de 5, 5, 5, 5, 5, 5, 9. Qu'en déduis-tu ?
Voir la réponse
Q₁ = 5 et Q₃ = 5, donc écart = 0 : la moitié centrale des valeurs est identique.
Problèmes
Les quartiles dans la vie réelle
Fais chaque exercice, puis vérifie ta réponse.
- En classe A, Q₁ = 52 et Q₃ = 70 points ; en classe B, Q₁ = 58 et Q₃ = 64. Quelle classe a les résultats les plus homogènes ?
Voir la réponse
Écart A = 18, écart B = 6 : la classe B (sa moitié centrale est plus resserrée). - Les températures à midi pendant une semaine ont été 14, 16, 15, 18, 21, 17 et 19 °C. Calcule l'écart interquartile.
Voir la réponse
Rangées : 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21. Q₁ = 15, Q₃ = 19 : écart = 4 °C - Pendant 11 jours, le bus de Léa pour aller au collège a mis 22, 25, 24, 30, 23, 26, 45, 24, 27, 25 et 28 minutes. Calcule l'écart interquartile. 45 min est-elle une valeur aberrante ?
Voir la réponse
Rangées : 22, 23, 24, 24, 25, 25, 26, 27, 28, 30, 45. Q₁ = 24, Q₃ = 28, écart = 4 minutes. Limite haute 28 + 6 = 34, donc 45 est aberrante (un embouteillage ?). - Un livre coûte 8 €, 9 €, 9 €, 10 €, 11 €, 12 € et 15 € dans sept magasins. Calcule l'écart interquartile des prix.
Voir la réponse
Q₁ = 9 €, Q₃ = 12 € : écart = 3 € - Le diagramme en boîte des hauteurs de 80 tournesols donne Q₁ = 1,2 m et Q₃ = 1,9 m. Calcule l'écart interquartile. Combien de tournesols mesurent entre 1,2 m et 1,9 m ?
Voir la réponse
Écart = 1,9 − 1,2 = 0,7 m ; environ la moitié de 80 : à peu près 40 tournesols.
Questions fréquentes
Quelle est la formule de l'écart interquartile ?
Écart interquartile = Q₃ − Q₁. On détermine d'abord le premier et le troisième quartile, puis on soustrait.
Quelle différence entre écart interquartile et intervalle interquartile ?
L'intervalle interquartile est l'intervalle [Q₁ ; Q₃] ; l'écart interquartile est sa longueur, le nombre Q₃ − Q₁. Pour les notes ci-dessus : l'intervalle [25 ; 38], l'écart 13.
Comment interpréter l'écart interquartile ?
Il indique à quel point la moitié centrale des données est dispersée. Deux classes peuvent avoir la même médiane : celle qui a le plus petit écart interquartile a des résultats plus proches les uns des autres.
Comment lire l'écart interquartile sur une boîte à moustaches ?
C'est la longueur de la boîte : lis la valeur du bord droit (Q₃) et celle du bord gauche (Q₁), puis soustrais. Le trait dans la boîte est la médiane, les moustaches vont jusqu'au minimum et au maximum.
Comment calculer les quartiles sur Excel ?
Si les valeurs sont en A1:A11, tape =QUARTILE.EXCLURE(A1:A11;3)-QUARTILE.EXCLURE(A1:A11;1). Attention : Excel ne suit pas la définition française. QUARTILE.INCLURE, par exemple, donne 26 et 37 pour les notes ci-dessus au lieu de 25 et 38. Au contrôle, applique la méthode du cours.
C'est quoi un quantile ?
Un quantile partage une série ordonnée en parts égales. Les quartiles la coupent en 4, les déciles en 10 et les centiles en 100 : Q₁ correspond à peu près au 25e centile, la médiane au 50e et Q₃ au 75e.
Mini-quiz
Quartiles et écart interquartile
Vérifie ce que tu sais avec 5 questions rapides.
Question 1 sur 5
Le premier quartile vaut 15 et le troisième 27. Quel est l'écart interquartile ?
S’entraîner
À toi de jouer
S'entraîner sur les boîtes à moustaches sans limite
Fiches de statistiques
Entraîne-toi pas à pas dans un cours complet : Maths · 3e
Pour les adultes
Sujets liés
Moyenne, médiane et mode
Moyenne, médiane et mode sont trois valeurs « typiques ». La moyenne partage le total à parts égales, la médiane est la valeur du milieu une fois rangées, le mode est la valeur la plus fréquente.
Effectifs cumulés
L'effectif cumulé croissant (ECC) d'une valeur est le nombre de données inférieures ou égales à cette valeur : on additionne les effectifs au fur et à mesure. Le dernier ECC est l'effectif total.
Variance et écart type
La variance et l'écart type mesurent la dispersion des données autour de la moyenne. La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne ; l'écart type est sa racine carrée.
La loi binomiale
La loi binomiale B(n ; p) donne la probabilité de k succès en n épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre p : P(X = k) = (k parmi n) pᵏ (1 − p)ⁿ⁻ᵏ. Son espérance est np.
Probabilité conditionnelle
La probabilité de A sachant B est la probabilité de A quand on sait que B est réalisé. On la note P_B(A) ou P(A|B) et on la calcule avec P_B(A) = P(A∩B) ÷ P(B).
Le polygone des effectifs
Le polygone des effectifs est un graphique en lignes pour une série regroupée en classes : on place l'effectif de chaque classe au-dessus de son centre et on relie les points par des segments.