Mathématiques
Qu'est-ce qu'une probabilité conditionnelle et comment la calculer ?
Réponse rapide
La probabilité de A sachant B est la probabilité de A quand on sait que B est réalisé. On la note P_B(A) ou P(A|B) et on la calcule avec P_B(A) = P(A∩B) ÷ P(B).
En une phrase
Une probabilité conditionnelle, c'est la probabilité qu'un événement se produise quand on sait déjà qu'un autre événement s'est produit.
Explication
Lance un dé équilibré. La probabilité d'obtenir 6 est 1/6. Un ami regarde le dé et dit : « C'est pair. » D'un coup, seuls 2, 4 et 6 sont possibles, et un seul des trois est un 6. La probabilité d'obtenir 6 sachant que le résultat est pair vaut 1/3. Le dé n'a pas changé ; c'est ce que tu sais qui a changé, et cela réduit la liste des issues possibles.
sac
balle
pluie
En France, on écrit P_B(A) (le B est en indice, en bas à droite du P) et on lit « probabilité de A sachant B ». On rencontre aussi la notation P(A|B), courante dans le supérieur et à l'étranger. A est l'événement qui t'intéresse, B est ce que tu sais déjà. La formule est :
P_B(A) = P(A∩B) ÷ P(B), à condition que P(B) ne soit pas nul.
Autrement dit : parmi toutes les fois où B se réalise, quelle proportion de fois A se réalise aussi ? Avec des effectifs, c'est encore plus simple : effectif de A∩B ÷ effectif de B. Si tu maîtrises les probabilités de base et les fractions, tu as tout ce qu'il faut.
En réarrangeant la formule, on obtient la règle utilisée sur un arbre pondéré :
P(A∩B) = P(B) × P_B(A)
Les probabilités portées sur les branches du deuxième niveau d'un arbre sont des probabilités conditionnelles : elles supposent que la première branche est réalisée. C'est pour cela que, dans un tirage « sans remise », les nombres du deuxième niveau changent.
Deux événements sont indépendants quand savoir que l'un est réalisé ne donne aucune information sur l'autre. Alors P_B(A) = P(A), et la règle devient P(A∩B) = P(A) × P(B). Des lancers de pièce successifs sont indépendants ; tirer deux bonbons d'un sachet sans remettre le premier ne l'est pas.
Attention à l'ordre : P_B(A) et P_A(B) sont en général différentes. Presque tous les footballeurs courent vite, mais presque aucun coureur rapide n'est footballeur. Passer de l'une à l'autre, c'est le rôle de la formule de Bayes : P_A(B) = P_B(A) × P(B) ÷ P(A).
Exemples
Un tableau à double entrée. On interroge une classe de 30 élèves sur le sport et la musique :
| Joue d'un instrument | Pas d'instrument | Total | |
|---|---|---|---|
| Fait du sport | 8 | 10 | 18 |
| Pas de sport | 4 | 8 | 12 |
| Total | 12 | 18 | 30 |
- Probabilité qu'un élève joue d'un instrument sachant qu'il fait du sport : on regarde seulement la ligne « sport ». 8 sur 18, donc 8/18 = 4/9.
- Probabilité qu'il fasse du sport sachant qu'il joue d'un instrument : on regarde seulement cette colonne. 8 sur 12, donc 8/12 = 2/3. Ce n'est pas 4/9 : l'ordre compte.
Avec la formule. P(A∩B) = 0,12 et P(B) = 0,4, donc P_B(A) = 0,12 ÷ 0,4 = 0,3.
Sans remise. Un sac contient 5 boules rouges et 3 bleues. On en tire une, on la garde, puis on en tire une autre. Si la première est rouge, il reste 4 rouges sur 7 : la probabilité que la 2e soit rouge sachant que la 1re l'est vaut 4/7. La probabilité que les deux soient rouges vaut 5/8 × 4/7 = 20/56 = 5/14.
Un test médical (chiffres inventés). Imaginons que 1 % de la population ait une maladie. Un test détecte 90 % des malades, mais il est aussi positif chez 5 % des personnes saines. Prenons 10 000 personnes : 100 sont malades, dont 90 testées positives ; 9 900 sont saines, et 5 % d'entre elles, soit 495, sont aussi positives. Au total 90 + 495 = 585 tests positifs, et la probabilité d'être malade sachant que le test est positif vaut 90 ÷ 585 = 2/13, environ 15 %. Comme la maladie est rare, la plupart des positifs sont de fausses alertes : c'est pourquoi on confirme un premier résultat positif par un second test.
Erreurs fréquentes
- Inverser l'ordre. P_B(A) n'est pas P_A(B). Correction : dis-le en mots (« la proportion de A parmi les B ») avant de calculer.
- Diviser par le mauvais total. « Sachant B » : on divise par l'effectif (ou la probabilité) de B, pas par le groupe entier. Dans la classe ci-dessus, c'est 8/18, pas 8/30.
- Confondre « sachant » et « et ». P(A∩B) est une part de tout le groupe ; P_B(A) est une part de B seulement. P(A∩B) n'est jamais plus grande que P_B(A).
- Oublier de mettre à jour le second tirage. Sans remise, le nombre total de boules et celui de la couleur tirée baissent chacun de 1.
Étape par étape
Étape par étape
- Repérer la conditionCherche « sachant que », « si », « parmi ceux qui ». Cet événement, c'est B.
- Trouver le nouveau totalCompte l'effectif de B ou calcule P(B). Il remplace le groupe entier.
- Trouver l'intersectionCompte les issues à la fois dans A et dans B, ou calcule P(A∩B).
- DiviserP_B(A) = intersection ÷ nouveau total.
- VérifierLe résultat est entre 0 et 1. Compare-le à P(A) : s'il est égal, A et B sont indépendants.
Exercices
Probabilités conditionnelles
Fais chaque exercice, puis vérifie ta réponse.
- On lance un dé équilibré. Calcule la probabilité d'obtenir 5 sachant que le résultat est impair.
Voir la réponse
Impairs : 1, 3, 5 (3 issues). Une seule est 5 : 1/3 - On lance un dé. Calcule la probabilité d'obtenir un nombre pair sachant qu'il est supérieur à 2.
Voir la réponse
Supérieurs à 2 : 3, 4, 5, 6. Pairs parmi eux : 4 et 6. 2/4 = 1/2 - On lance un dé. Calcule la probabilité d'obtenir moins de 3 sachant que le résultat est pair.
Voir la réponse
Pairs : 2, 4, 6. Seul 2 est inférieur à 3 : 1/3 - P(A∩B) = 0,2 et P(B) = 0,5. Calcule P_B(A).
Voir la réponse
0,2 ÷ 0,5 = 0,4 - P(A∩B) = 0,15 et P(A) = 0,6. Calcule P_A(B).
Voir la réponse
0,15 ÷ 0,6 = 0,25 - P(B) = 0,3 et P_B(A) = 0,5. Calcule P(A∩B).
Voir la réponse
0,3 × 0,5 = 0,15 - Un sac contient 4 jetons rouges et 6 verts. On en tire deux sans remise. Probabilité que le 2e soit rouge sachant que le 1er est rouge ?
Voir la réponse
Il reste 3 rouges sur 9 : 3/9 = 1/3 - Même sac. Probabilité que les deux soient rouges ?
Voir la réponse
4/10 × 3/9 = 12/90 = 2/15 - Même sac. Probabilité que le 2e soit rouge sachant que le 1er est vert ?
Voir la réponse
Il reste 4 rouges sur 9 : 4/9 - Avec le tableau de la classe, calcule la probabilité de faire du sport sachant qu'on ne joue pas d'instrument.
Voir la réponse
18 élèves sans instrument, dont 10 font du sport : 10/18 = 5/9 - Avec le tableau, probabilité de ne pas faire de sport sachant qu'on joue d'un instrument ?
Voir la réponse
12 jouent d'un instrument, dont 4 sans sport : 4/12 = 1/3 - P(A) = 0,5, P(B) = 0,4 et P(A∩B) = 0,2. A et B sont-ils indépendants ?
Voir la réponse
0,5 × 0,4 = 0,2 = P(A∩B), et P_B(A) = 0,2 ÷ 0,4 = 0,5 = P(A) : oui - P(A) = 0,3, P(B) = 0,6 et P(A∩B) = 0,1. Indépendants ?
Voir la réponse
0,3 × 0,6 = 0,18, qui n'est pas 0,1 : non - On lance deux pièces. Sachant qu'on a obtenu au moins un « face », probabilité d'avoir deux « face » ?
Voir la réponse
Avec F = face et P = pile, au moins un face : FF, FP, PF (3 issues). Deux face : 1 sur 3 : 1/3 - On lance deux dés. Sachant que la somme vaut 8, probabilité que les deux dés montrent 4 ?
Voir la réponse
Somme 8 : (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2), soit 5 issues. Seule (4,4) convient : 1/5 - P_B(A) = 0,6, P(B) = 0,5 et P(A) = 0,4. Calcule P_A(B).
Voir la réponse
P(A∩B) = 0,5 × 0,6 = 0,3, donc P_A(B) = 0,3 ÷ 0,4 = 0,75
Problèmes
Probabilités conditionnelles dans la vie courante
Fais chaque exercice, puis vérifie ta réponse.
- Dans un groupe de 40 élèves, 25 aiment le foot, et 10 de ces 25 aiment aussi le basket. On choisit au hasard un amateur de foot. Probabilité qu'il aime le basket ?
Voir la réponse
10 ÷ 25 = 2/5 (0,4) - La probabilité qu'il pleuve demain est 0,3. S'il pleut, le bus est en retard avec une probabilité de 0,4 ; sinon, de 0,1. Probabilité qu'il pleuve et que le bus soit en retard ?
Voir la réponse
0,3 × 0,4 = 0,12 - Même situation. Probabilité que le bus soit en retard ?
Voir la réponse
Pluie et retard : 0,12. Pas de pluie et retard : 0,7 × 0,1 = 0,07. Formule des probabilités totales : 0,19 - Même situation. Le bus est en retard. Probabilité qu'il ait plu ?
Voir la réponse
0,12 ÷ 0,19 = 12/19 ≈ 0,63 (formule de Bayes) - Une boîte de 12 œufs en contient 3 fêlés. On en prend deux sans regarder. Probabilité que le 2e soit fêlé sachant que le 1er l'était ?
Voir la réponse
Il reste 2 fêlés sur 11 : 2/11 - Une machine contrôle 2 000 téléphones, dont 5 % sont défectueux. Elle signale 95 % des défectueux et, par erreur, 4 % des bons. Un téléphone est signalé. Probabilité qu'il soit vraiment défectueux ?
Voir la réponse
Défectueux : 100, signalés 95. Bons : 1 900, signalés 76. 95 ÷ (95 + 76) = 95/171 = 5/9 ≈ 0,56
Questions fréquentes
Quelle est la formule de la probabilité conditionnelle ?
P_B(A) = P(A∩B) ÷ P(B) : la probabilité que les deux événements se réalisent, divisée par la probabilité de l'événement qu'on sait réalisé. Avec des effectifs : effectif de A∩B ÷ effectif de B.
Comment lire une probabilité conditionnelle ?
P_B(A) se lit « probabilité de A sachant B ». L'événement en indice, ici B, est celui qu'on sait réalisé. Avec l'autre notation, P(A|B), la condition est après la barre.
Comment reconnaître une probabilité conditionnelle dans un énoncé ?
Cherche les mots « sachant que », « parmi », « si l'on sait que » ou « on choisit un … qui … ». Dès que l'énoncé restreint la population avant de poser la question, c'est une probabilité conditionnelle.
Quel lien entre probabilité conditionnelle et indépendance ?
A et B sont indépendants si P_B(A) = P(A), ce qui revient à P(A∩B) = P(A) × P(B). Savoir que B est réalisé ne change alors rien à la probabilité de A.
Comment utiliser un arbre pondéré ?
Le premier niveau porte P(A) et P(Ā) ; le second porte les probabilités conditionnelles, comme P_A(B). On multiplie le long d'un chemin, et on additionne les chemins qui mènent au même événement (formule des probabilités totales).
Mini-quiz
Probabilité conditionnelle
Vérifie ce que tu sais avec 5 questions rapides.
Question 1 sur 5
On lance un dé équilibré et on t'annonce que le nombre obtenu est pair. Quelle est la probabilité que ce soit un 4 ?
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Fiches de probabilités et statistiques
Entraîne-toi pas à pas dans un cours complet : Maths · 1re
Pour les adultes
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