Qu'est-ce que l'univers d'une expérience aléatoire en probabilités ?

Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat : lancer une pièce, lancer un dé, tirer un bonbon dans un sac, choisir un menu au hasard. Chaque résultat possible s'appelle une issue, et l'ensemble de toutes les issues est l'univers, noté Ω (oméga). On écrit les issues entre accolades :

• Lancer une pièce : Ω = {P, F} (pile, face)
• Lancer un dé : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Choisir un jour de la semaine : Ω = {lundi, mardi, … , dimanche}

Le nombre d'issues est le cardinal de l'univers, noté card(Ω). Pour un dé, card(Ω) = 6. (En anglais, l'univers s'appelle sample space.)

Un événement est une partie de l'univers : une ou plusieurs issues qui nous intéressent. « Obtenir un nombre pair » est l'événement A = {2, 4, 6}. Un événement formé d'une seule issue est un événement élémentaire. Quand toutes les issues ont la même chance (on parle d'équiprobabilité), la probabilité d'un événement se calcule ainsi :

P(A) = nombre d'issues favorables ÷ nombre d'issues possibles = card(A) ÷ card(Ω)

Donc P(pair) = 3/6 = 1/2. Voilà pourquoi l'univers est si important : c'est le dénominateur. S'il est faux, toutes les probabilités sont fausses.

Quand l'expérience a plusieurs étapes, on écrit les issues dans l'ordre. Deux pièces donnent PP, PF, FP et FF : quatre issues, pas trois, car « pile puis face » et « face puis pile » sont différentes. Pour compter vite, on utilise le principe multiplicatif : si la première étape a m issues et la seconde n, il y en a m × n en tout. Deux pièces : 2 × 2 = 4. Trois pièces : 2 × 2 × 2 = 8. Deux dés : 6 × 6 = 36.

Trois outils permettent de décrire l'univers :

• Une liste écrite avec méthode, pour n'oublier aucune issue (d'abord toutes celles qui commencent par P, puis celles qui commencent par F).
• Un tableau à double entrée, idéal pour deux étapes, comme deux dés ou une pièce et une roue.
• Un arbre, le plus pratique à partir de trois étapes, comme trois pièces.

Le tableau des deux dés illustre aussi les événements indépendants : des événements où l'un n'influence pas l'autre, comme les résultats de deux dés différents. Pour des événements indépendants, P(A ∩ B) = P(A) × P(B). Dans le tableau, « le premier dé est pair » occupe 18 cases et « le second dé donne 6 » en occupe 6 ; seules 3 cases réalisent les deux, et 3/36 = 1/12 = 1/2 × 1/6. Ne pas confondre avec des événements incompatibles, qui n'ont aucune issue en commun et ne peuvent jamais se produire ensemble (« obtenir 2 » et « obtenir un nombre impair »). Dans un diagramme de Venn, le rectangle représente l'univers et chaque cercle un événement : des événements incompatibles ne se chevauchent pas.

Quel est l'univers quand on lance deux dés ?#

Ce sont les 36 couples (1, 1), (1, 2), … , (6, 6). Le plus simple est un tableau à double entrée de 6 sur 6. Les sommes de 2 à 12 ne forment pas un univers équiprobable.

Comment calculer le cardinal de l'univers ?#

On compte les issues. Pour une expérience en plusieurs étapes, on multiplie les nombres d'issues de chaque étape : trois pièces donnent 2 × 2 × 2 = 8 issues.

Qu'est-ce qu'un univers fini ou infini ?#

Un univers est fini quand on peut faire la liste complète des issues, comme pour un dé. Il est infini si les issues ne s'arrêtent pas : lancer une pièce jusqu'à obtenir pile donne Ω = {P, FP, FFP, FFFP, …}.

Quelle est la différence entre univers et événement ?#

L'univers contient toutes les issues possibles ; un événement en est une partie. Avec un dé, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} et l'événement « obtenir moins de 3 » est {1, 2}.

C'est quoi deux événements indépendants ?#

Deux événements sont indépendants quand la réalisation de l'un ne change pas la probabilité de l'autre, comme deux lancers de pièce. La formule est P(A ∩ B) = P(A) × P(B). Sinon, voir la probabilité conditionnelle.

Quelle est la différence entre événements incompatibles et indépendants ?#

Des événements incompatibles ne peuvent pas se produire en même temps : A ∩ B = ∅ et P(A ∩ B) = 0. Des événements indépendants peuvent se produire ensemble ; l'un ne change simplement pas la chance de l'autre. Deux événements de probabilités non nulles ne peuvent pas être les deux à la fois.