Que disent la loi des sinus et la loi des cosinus, et quand utiliser chacune ?

SOH CAH TOA et le théorème de Pythagore ne fonctionnent que dans les triangles rectangles (voir trigonométrie). Or les triangles de la vie réelle, comme la route de deux bateaux, la charpente d'un toit ou un champ délimité par trois clôtures, n'ont presque jamais d'angle droit. La loi des sinus et la loi des cosinus comblent ce manque. En France, la loi des cosinus s'appelle le plus souvent théorème d'Al-Kashi, du nom du savant persan al-Kashi ; le nom « loi des sinus » est surtout employé au Québec.

D'abord, les notations. On nomme les angles A, B et C (souvent notés Â, B̂, Ĉ), et le côté opposé à chaque angle par la même lettre en minuscule : le côté a est en face de l'angle A, b en face de B, c en face de C. Toutes les formules de cette page reposent sur ces paires.

La loi des sinus dit que dans tout triangle, chaque côté divisé par le sinus de l'angle opposé donne le même nombre :

a ÷ sin A = b ÷ sin B = c ÷ sin C

Pour trouver un angle, on la retourne : sin A ÷ a = sin B ÷ b = sin C ÷ c. On n'utilise que deux des trois rapports à la fois, et il faut connaître une paire complète (un côté et son angle opposé) pour démarrer.

La loi des cosinus (Al-Kashi) est le théorème de Pythagore corrigé pour les angles qui ne mesurent pas 90° :

a² = b² + c² − 2bc cos A

Réarrangée pour trouver un angle :

cos A = (b² + c² − a²) ÷ (2bc)

Si A = 90°, cos A = 0 et on retrouve a² = b² + c², le théorème de Pythagore. Si A est obtus, cos A est négatif et a est plus long que ce que donnerait Pythagore, ce qui est logique : un angle plus ouvert éloigne le côté opposé.

Quelle loi choisir ?

• Deux angles et un côté, ou deux côtés et un angle non compris entre eux (une paire complète et une donnée de plus) → loi des sinus.
• Deux côtés et l'angle compris entre eux → Al-Kashi pour le troisième côté.
• Les trois côtés → Al-Kashi pour un angle.

Une formule voisine donne l'aire sans connaître la hauteur : Aire = ½ab sin C, avec deux côtés et l'angle qu'ils forment.

Le cas ambigu. Si l'on connaît deux côtés et un angle non compris entre eux, il peut exister deux triangles. Avec a = 6, b = 8 et A = 40°, sin B = 8 × sin 40° ÷ 6 ≈ 0,857, donc B ≈ 59,0° ou B ≈ 121,0°. Les deux conviennent, car 40° + 121,0° reste inférieur à 180°.

Quand utiliser la loi des sinus ?#

Quand on connaît un côté et son angle opposé, plus un autre côté ou un autre angle. C'est le cas, par exemple, avec deux angles et un côté.

Quand utiliser la loi des cosinus ?#

Pour trouver le troisième côté quand on connaît deux côtés et l'angle compris, ou pour trouver un angle quand on connaît les trois côtés.

Comment trouver un angle avec la loi des cosinus ?#

On isole le cosinus : cos A = (b² + c² − a²) ÷ (2bc), puis on applique arccos (cos⁻¹) à la calculatrice. Un résultat négatif pour cos A signifie que l'angle est obtus.

Comment trouver un angle avec la loi des sinus ?#

On écrit sin B = b × sin A ÷ a, puis on applique arcsin. Attention au cas ambigu : 180° − B a le même sinus et peut aussi convenir.

Quelle est la démonstration de la loi des sinus ?#

Trace la hauteur h issue de C. Dans les deux triangles rectangles obtenus, h = b sin A et h = a sin B. Donc b sin A = a sin B, c'est-à-dire a ÷ sin A = b ÷ sin B.

Comment démontrer la loi des cosinus ?#

En France, on la démontre en première avec le produit scalaire. En vecteurs, BC = AC − AB, donc BC² = AC² + AB² − 2 (AB · AC). Comme AB · AC = bc cos A, on obtient a² = b² + c² − 2bc cos A.