Mathématiques
C’est quoi l’inverse d’un nombre, et comment le trouver ?
Réponse rapide
L’inverse d’un nombre non nul est 1 divisé par ce nombre : leur produit vaut 1. Pour une fraction, on la retourne. L’inverse de 3/4 est 4/3.
En une phrase
L’inverse d’un nombre est le nombre par lequel il faut le multiplier pour obtenir 1 : pour une fraction, il suffit de la retourner.
Explication
Coupe une pizza en 8 parts égales. Une part, c’est 1/8 de la pizza, et 8 parts font une pizza entière. Donc 8 × 1/8 = 1. Les nombres 8 et 1/8 sont inverses l’un de l’autre.
pizza
tasse
règle
La règle tient en une ligne :
l’inverse de x est 1/x, et x × 1/x = 1 (pour tout nombre x non nul)
On dit aussi inverse multiplicatif (en anglais, reciprocal). Sur la calculatrice, on l’obtient avec la touche x⁻¹ (ou 1/x) : l’exposant −1 veut dire « un sur ». (Voir les puissances.)
La méthode dépend de l’écriture du nombre :
- Une fraction : on échange le numérateur et le dénominateur. L’inverse de 2/7 est 7/2.
- Un nombre entier : on l’écrit sur 1, puis on retourne. 5 = 5/1, donc son inverse est 1/5.
- Une fraction de numérateur 1 : l’inverse de 1/9 est 9/1 = 9.
- Un nombre comme 2 + 1/2 : on l’écrit d’abord en une seule fraction, puis on retourne. 2 + 1/2 = 5/2, donc son inverse est 2/5.
- Un nombre décimal : on l’écrit en fraction, ou on calcule 1 ÷ le nombre. 0,25 = 1/4, donc son inverse est 4.
- Un nombre relatif négatif : on garde le signe moins. L’inverse de −3 est −1/3, car (−3) × (−1/3) = +1.
Deux cas particuliers : 0 n’a pas d’inverse (aucun nombre multiplié par 0 ne donne 1, et on ne divise pas par zéro), et 1 et −1 sont leurs propres inverses. Retourner deux fois ramène au départ : l’inverse de l’inverse de 3/5, c’est 3/5.
Un grand nombre a un petit inverse, et inversement. L’inverse de 100 est 0,01 ; l’inverse de 0,01 est 100. Un nombre compris entre 0 et 1 a toujours un inverse plus grand que 1.
L’usage le plus fréquent : diviser par une fraction. Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par son inverse. 3/4 ÷ 2/5 = 3/4 × 5/2 = 15/8. Voir la division de fractions.
Exemples
| Nombre | Écrit en fraction | Inverse | Vérification |
|---|---|---|---|
| 6 | 6/1 | 1/6 | 6 × 1/6 = 1 |
| 3/8 | 3/8 | 8/3 | 3/8 × 8/3 = 24/24 = 1 |
| 1/10 | 1/10 | 10 | 1/10 × 10 = 1 |
| 1 + 3/4 | 7/4 | 4/7 | 7/4 × 4/7 = 1 |
| 0,5 | 1/2 | 2 | 0,5 × 2 = 1 |
| 0,2 | 1/5 | 5 | 0,2 × 5 = 1 |
| −2/9 | −2/9 | −9/2 | (−2/9) × (−9/2) = 1 |
| 1 | 1/1 | 1 | 1 × 1 = 1 |
| 0 | – | aucun | – |
Exemple résolu : trouver l’inverse de 3 + 1/3. En une seule fraction, 3 + 1/3 = 9/3 + 1/3 = 10/3. On retourne : 3/10, soit 0,3. Vérification : 10/3 × 3/10 = 30/30 = 1.
Erreurs fréquentes
- Retourner seulement la partie fractionnaire. L’inverse de 2 + 1/2 n’est pas 2 + 2/1. On écrit d’abord 2 + 1/2 = 5/2, et l’inverse est 2/5.
- Changer le signe. L’inverse de −4 est −1/4, pas 1/4. Un nombre et son inverse ont toujours le même signe.
- Confondre inverse et opposé. Deux inverses ont pour produit 1 (5 et 1/5). Deux opposés ont pour somme 0 (5 et −5).
- Retourner la mauvaise fraction en divisant. Dans 2/3 ÷ 4/5, on garde la première et on retourne seulement le diviseur : 2/3 × 5/4.
Étape par étape
Étape par étape
- Écrire en fractionEntier : on le met sur 1. Nombre comme 2 + 1/2 : on le met en une seule fraction. Décimal : on l’écrit en fraction.
- RetournerOn échange numérateur et dénominateur.
- Garder le signeSi le nombre était négatif, son inverse l’est aussi.
- SimplifierOn donne le résultat sous forme irréductible, ou en nombre entier ou décimal si c’est plus simple.
- VérifierOn multiplie le nombre par le résultat. On doit obtenir exactement 1.
Pour un décimal comme 1,25, on peut aussi diviser : 1 ÷ 1,25 = 0,8. Ou passer par les fractions : 1,25 = 5/4, dont l’inverse est 4/5 = 0,8.
Exercices
Trouve l’inverse
Fais chaque exercice, puis vérifie ta réponse.
- Quel est l’inverse de 7 ?
Voir la réponse
7 = 7/1, retourné : 1/7 - Quel est l’inverse de 1/9 ?
Voir la réponse
1/9 retourné donne 9/1 : 9 - Quel est l’inverse de 3/8 ?
Voir la réponse
8/3 - Quel est l’inverse de 2 + 1/2 ?
Voir la réponse
2 + 1/2 = 5/2, retourné : 2/5 - Quel est l’inverse de 0,5 ?
Voir la réponse
0,5 = 1/2, retourné : 2 - Quel est l’inverse de 0,25 ?
Voir la réponse
0,25 = 1/4, retourné : 4 - Quel est l’inverse de −6 ?
Voir la réponse
On garde le signe : −1/6 - Quel est l’inverse de −2/3 ?
Voir la réponse
On retourne et on garde le signe : −3/2 (= −1,5) - Quel est l’inverse de 1 ?
Voir la réponse
1 × 1 = 1, donc c’est 1 - Quel est l’inverse de 1,25 ?
Voir la réponse
1,25 = 5/4, retourné : 4/5 = 0,8 - Quel est l’inverse de 3 + 1/4 ?
Voir la réponse
3 + 1/4 = 13/4, retourné : 4/13 - Calcule 3/4 × 4/3.
Voir la réponse
12/12 = 1 (ce sont des inverses) - Calcule 2/3 ÷ 4/5 en utilisant l’inverse.
Voir la réponse
2/3 × 5/4 = 10/12 = 5/6 - Calcule 6 ÷ 3/4.
Voir la réponse
6 × 4/3 = 24/3 = 8 - Quel est l’opposé de l’inverse de 5/2 ?
Voir la réponse
On retourne et on change le signe : −2/5 - Quel nombre n’a pas d’inverse, et pourquoi ?
Voir la réponse
0, car aucun nombre multiplié par 0 ne donne 1 (1 ÷ 0 n’existe pas).
Problèmes
L’inverse dans la vie courante
Fais chaque exercice, puis vérifie ta réponse.
- Combien de bouteilles de 3/4 L peut-on remplir avec 6 L de jus ?
Voir la réponse
6 ÷ 3/4 = 6 × 4/3 = 8 bouteilles - Un ruban mesure 5 m. Combien de morceaux de 2/3 m peut-on y couper ?
Voir la réponse
5 ÷ 2/3 = 5 × 3/2 = 7,5, donc 7 morceaux entiers (il reste 1/3 m) - Une fournée de biscuits demande 1/4 kg de farine. Combien de fournées avec 3 kg ?
Voir la réponse
3 ÷ 1/4 = 3 × 4 = 12 fournées - Une droite a pour coefficient directeur 2/3. Quel est le coefficient directeur d’une droite perpendiculaire ?
Voir la réponse
L’opposé de l’inverse : −3/2 - Deux résistances de 6 ohms sont montées en dérivation, donc 1/R = 1/6 + 1/6. Quelle est la résistance totale R ?
Voir la réponse
1/R = 2/6 = 1/3, donc R est l’inverse de 1/3 : 3 ohms
Questions fréquentes
C’est quoi l’inverse d’un nombre en maths ?
C’est 1 divisé par ce nombre. Un nombre multiplié par son inverse donne toujours 1 : l’inverse de 4 est 1/4, celui de 2/3 est 3/2.
Quelle différence entre l’inverse et l’opposé d’un nombre ?
L’opposé de 5 est −5, car 5 + (−5) = 0 : on change le signe. L’inverse de 5 est 1/5, car 5 × 1/5 = 1 : on retourne. Le « contraire » d’un nombre, au sens mathématique, c’est l’opposé.
Comment trouver l’inverse d’un nombre entier ?
On l’écrit sur 1 et on retourne : l’inverse de 12 est 1/12. À la calculatrice, 1 ÷ 12 ≈ 0,0833.
Comment trouver l’inverse d’un nombre décimal ?
On l’écrit en fraction puis on retourne : 0,4 = 2/5, donc son inverse est 5/2 = 2,5. Ou on calcule directement 1 ÷ 0,4 = 2,5.
Quel est l’inverse d’un nombre relatif négatif ?
Il est négatif lui aussi. L’inverse de −5 est −1/5, car moins par moins donne plus : (−5) × (−1/5) = 1. Tout nombre relatif non nul a un inverse.
Comment calculer l’inverse d’un nombre complexe ?
Tout nombre complexe non nul a un inverse. Pour a + ib, c’est (a − ib) ÷ (a² + b²). Par exemple, 1/(3 + 4i) = (3 − 4i)/25. C’est une notion de terminale.
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