Mathématiques
Comment diviser des fractions ?
Réponse rapide
Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse. On garde la première fraction, on remplace ÷ par × et on retourne la seconde. 3/4 ÷ 1/2 = 3/4 × 2/1 = 3/2.
En une phrase
Pour diviser par une fraction, on la retourne et on multiplie : diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse.
Explication
Diviser, c'est se poser une question : combien de fois ceci rentre-t-il dans cela ? 6 ÷ 2 demande combien de fois 2 rentre dans 6 (trois fois). De la même façon, 3 ÷ 1/2 demande combien de moitiés il y a dans 3. Chaque unité contient deux moitiés, donc trois unités en contiennent 6. Remarque : 3 ÷ 1/2 donne la même chose que 3 × 2. C'est tout le secret : diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.
L'inverse d'une fraction, c'est la fraction retournée. L'inverse de 2/3 est 3/2 ; celui de 1/4 est 4 ; celui de 5 (c'est-à-dire 5/1) est 1/5. Un nombre multiplié par son inverse donne toujours 1.
pizza
jus
gâteau
La méthode tient en trois gestes :
- On garde la première fraction.
- On remplace le signe ÷ par ×.
- On retourne la seconde fraction (on prend son inverse).
Ainsi, 2/3 ÷ 3/4 devient 2/3 × 4/3 = 8/9. Il ne reste plus qu'à multiplier les fractions : numérateurs entre eux, dénominateurs entre eux. On ne retourne jamais la première fraction, et il n'est pas nécessaire de mettre au même dénominateur.
Fractions unitaires et nombres entiers. Une fraction unitaire a 1 au numérateur, comme 1/3. Diviser une fraction unitaire par un entier fait des parts plus petites : 1/3 ÷ 2 = 1/6 (la moitié d'un tiers est un sixième). Diviser un entier par une fraction unitaire compte des parts : 4 ÷ 1/3 = 12 (il y a douze tiers dans quatre unités).
Même dénominateur. Si les dénominateurs sont égaux, il suffit de diviser les numérateurs : 6/7 ÷ 2/7 = 6 ÷ 2 = 3.
Nombres comme 2 + 1/4. Transforme-les d'abord en une seule fraction (voir fractions supérieures à 1) : (2 + 1/4) ÷ (1 + 1/2) = 9/4 ÷ 3/2 = 9/4 × 2/3 = 18/12 = 3/2.
Exemples
| Calcul | On multiplie par l'inverse | Résultat |
|---|---|---|
| 2/3 ÷ 1/3 | 2/3 × 3/1 = 6/3 | 2 |
| 3/5 ÷ 2/7 | 3/5 × 7/2 | 21/10 |
| 4 ÷ 2/3 | 4/1 × 3/2 = 12/2 | 6 |
| 5/6 ÷ 5 | 5/6 × 1/5 = 5/30 | 1/6 |
| 1/4 ÷ 3 | 1/4 × 1/3 | 1/12 |
| 9/4 ÷ 3/2 | 9/4 × 2/3 = 18/12 | 3/2 |
Exemple détaillé : 5/6 ÷ 2/3. On garde 5/6, on remplace ÷ par × et on retourne 2/3 en 3/2 : 5/6 × 3/2 = 15/12. On simplifie par 3 : 5/4. Vérification : 5/4 × 2/3 = 10/12 = 5/6. C'est juste.
Erreurs fréquentes
- Retourner la mauvaise fraction. Seule la seconde (celle par laquelle on divise) est retournée. Jamais la première.
- Retourner sans changer le signe. Pour 3/4 ÷ 1/2, écrire 3/4 ÷ 2/1 donne 3/8, ce qui est faux ; 3/4 × 2/1 = 3/2 est juste.
- Diviser séparément les entiers et les fractions. (3 + 1/3) ÷ (1 + 2/3) ne fait pas (3 ÷ 1) + (1/3 ÷ 2/3) = 7/2. On transforme d'abord : 10/3 × 3/5 = 2.
- Croire qu'une division rend toujours plus petit. Diviser par une fraction plus petite que 1 donne un résultat plus grand : 6 ÷ 1/2 = 12.
Étape par étape
Étape par étape
- Tout en fractionsLes entiers s'écrivent sur 1 ; les nombres comme 2 + 1/4 deviennent une seule fraction.
- GardeRecopie la première fraction telle quelle.
- RemplaceChange le signe ÷ en ×.
- RetourneÉcris l'inverse de la seconde fraction.
- Multiplie et simplifieMultiplie numérateurs et dénominateurs, puis rends la fraction irréductible.
Pour vérifier, multiplie ton résultat par la fraction par laquelle tu as divisé : tu dois retrouver le nombre de départ.
Exercices
Divise les fractions
Fais chaque exercice, puis vérifie ta réponse.
- 1/2 ÷ 1/4
Voir la réponse
1/2 × 4/1 = 4/2 = 2 - 3 ÷ 1/2
Voir la réponse
3 × 2 = 6 - 5 ÷ 1/3
Voir la réponse
5 × 3 = 15 - 1/3 ÷ 2
Voir la réponse
1/3 × 1/2 = 1/6 - 1/5 ÷ 4
Voir la réponse
1/5 × 1/4 = 1/20 - 4/5 ÷ 2/5
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Même dénominateur : 4 ÷ 2 = 2 - 2/3 ÷ 3/4
Voir la réponse
2/3 × 4/3 = 8/9 - 3/4 ÷ 3/8
Voir la réponse
3/4 × 8/3 = 24/12 = 2 - 5/6 ÷ 2/3
Voir la réponse
5/6 × 3/2 = 15/12 = 5/4 - 7/10 ÷ 1/5
Voir la réponse
7/10 × 5/1 = 35/10 = 7/2 (soit 3,5) - 6 ÷ 3/4
Voir la réponse
6 × 4/3 = 24/3 = 8 - 9/10 ÷ 3
Voir la réponse
9/10 × 1/3 = 9/30 = 3/10 - 3/2 ÷ 3/4
Voir la réponse
3/2 × 4/3 = 12/6 = 2 - 10/3 ÷ 5/3
Voir la réponse
10/3 × 3/5 = 30/15 = 2 - 5/2 ÷ 1/4
Voir la réponse
5/2 × 4/1 = 20/2 = 10 - −2/5 ÷ 4/5
Voir la réponse
−2/5 × 5/4 = −10/20 = −1/2
Problèmes
Diviser des fractions dans la vie
Fais chaque exercice, puis vérifie ta réponse.
- Tu as 3 pizzas et chaque personne reçoit 1/4 de pizza. Combien de personnes peux-tu servir ?
Voir la réponse
3 ÷ 1/4 = 3 × 4 = 12 personnes - On partage 3/4 de litre de jus entre 3 verres. Combien chaque verre contient-il ?
Voir la réponse
3/4 ÷ 3 = 3/4 × 1/3 = 3/12 = 1/4 de litre - Un ruban mesure 9/2 m. Combien de morceaux de 3/4 m peux-tu couper ?
Voir la réponse
9/2 ÷ 3/4 = 9/2 × 4/3 = 36/6 = 6 morceaux - Une fournée de biscuits demande 2/3 de kilo de farine. Tu as 4 kilos. Combien de fournées peux-tu faire ?
Voir la réponse
4 ÷ 2/3 = 4 × 3/2 = 12/2 = 6 fournées - Une marcheuse parcourt 5/2 km en 3/4 d'heure. Quelle est sa vitesse en km/h ?
Voir la réponse
5/2 ÷ 3/4 = 5/2 × 4/3 = 20/6 = 10/3 km/h (environ 3,3 km/h)
Questions fréquentes
Quelle est la règle pour diviser des fractions ?
Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse : a/b ÷ c/d = a/b × d/c. Ensuite, on simplifie.
Comment diviser deux fractions entre elles ?
On garde la première, on la multiplie par l'inverse de la seconde : 2/3 ÷ 4/5 = 2/3 × 5/4 = 10/12 = 5/6.
Pourquoi retourne-t-on la seconde fraction ?
Parce que diviser par 2, c'est prendre la moitié (× 1/2), et diviser par 1/2, c'est doubler (× 2). Diviser par un nombre revient toujours à multiplier par son inverse.
Faut-il mettre au même dénominateur ?
Non. La règle de l'inverse marche avec tous les dénominateurs. S'ils sont déjà égaux, on peut simplement diviser les numérateurs.
Comment diviser une fraction par un nombre entier ?
On multiplie le dénominateur par l'entier : 3/5 ÷ 2 = 3/10. C'est comme partager la fraction en parts égales.
Comment calculer une division de fractions qui a un résultat décimal ?
On calcule d'abord la fraction, puis on divise le numérateur par le dénominateur : 3/4 ÷ 1/2 = 3/2 = 1,5.
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Multiplier des fractions
Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, puis on simplifie. Pas besoin de même dénominateur, 2/3 × 4/5 = 8/15.
Fractions supérieures à 1 et nombres mixtes
Une fraction supérieure à 1 a un numérateur plus grand que son dénominateur, comme 7/4. On peut l'écrire 1 + 3/4 : une partie entière et une fraction.
La division
Diviser, c'est partager en groupes égaux ou chercher combien de groupes tiennent dans un nombre. Le signe est ÷ (ou :), donc 12 ÷ 3 = 4. Le résultat est le quotient.
Inverse d’un nombre
L’inverse d’un nombre non nul est 1 divisé par ce nombre : leur produit vaut 1. Pour une fraction, on la retourne. L’inverse de 3/4 est 4/3.
Additionner et soustraire des fractions
Si les fractions ont le même dénominateur, on additionne ou on soustrait les numérateurs et on garde le dénominateur. Sinon, on commence par les mettre au même dénominateur.