Comment multiplier des fractions ?

La multiplication est l'opération la plus simple sur les fractions. Il n'y a qu'une règle :

numérateur × numérateur sur dénominateur × dénominateur

Ainsi, 2/3 × 4/5 = (2 × 4)/(3 × 5) = 8/15. Contrairement à l'addition et à la soustraction, il n'est pas nécessaire de mettre au même dénominateur. Que les dénominateurs soient égaux ou différents, on fait exactement pareil.

Pourquoi ça marche ? Pense au mot « de ». 1/2 × 3/4, c'est « la moitié de trois quarts ». Imagine une tablette de chocolat coupée en quarts, dont 3 morceaux sur 4 sont coloriés. Coupe maintenant chaque morceau en deux. La tablette a 8 morceaux égaux, et la moitié de la partie coloriée en représente 3 : 3/8. Les dénominateurs se sont multipliés (4 × 2 = 8 morceaux), les numérateurs aussi (3 × 1 = 3 morceaux).

Avec un nombre entier. On écrit l'entier comme une fraction de dénominateur 1. 4 × 2/9 = 4/1 × 2/9 = 8/9. Seul le numérateur grandit, car on a 4 fois 2/9.

Avec des fractions plus grandes que 1. Si un nombre est écrit 2 + 1/2, on le transforme d'abord en une seule fraction : 5/2 (voir fractions supérieures à 1). Par exemple (2 + 1/2) × (1 + 1/5) = 5/2 × 6/5 = 30/10 = 3.

Simplifier avant de multiplier. Si un numérateur et un dénominateur (de n'importe laquelle des fractions) ont un diviseur commun, on les divise avant de multiplier. Dans 4/9 × 3/8, on divise 4 et 8 par 4, puis 3 et 9 par 3 : il reste 1/3 × 1/2 = 1/6. On trouverait la même chose en calculant 12/72 puis en simplifiant, mais c'est plus long.

Une surprise : multiplier par une fraction plus petite que 1 rend le nombre plus petit. 1/2 × 10 = 5, car la moitié d'une chose, c'est moins que la chose entière.

Avec trois fractions, c'est pareil : 2/3 × 3/4 × 4/5 = 24/60 = 2/5.

Comment multiplier deux fractions entre elles ?#

On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : a/b × c/d = (a × c)/(b × d). Puis on simplifie.

Comment multiplier des fractions qui n'ont pas le même dénominateur ?#

Exactement comme si elles avaient le même : 1/2 × 2/5 = 2/10 = 1/5. La mise au même dénominateur ne sert que pour additionner ou soustraire.

Et si les deux fractions ont le même dénominateur ?#

On ne garde pas le dénominateur ! 2/7 × 3/7 = 6/49, pas 6/7. On multiplie quand même les dénominateurs.

Comment multiplier une fraction par un nombre entier ?#

On multiplie seulement le numérateur par l'entier : 5 × 2/3 = 10/3. C'est comme écrire 5 = 5/1.

Comment multiplier des fractions négatives ?#

On applique la règle des signes, puis on multiplie normalement : (−1/2) × (−2/3) = 2/6 = 1/3, et −1/2 × 2/3 = −2/6 = −1/3.

Pourquoi le résultat est-il parfois plus petit ?#

Multiplier par 1/2, c'est prendre la moitié. Toute fraction inférieure à 1 rend le nombre plus petit ; une fraction supérieure à 1, comme 3/2, le rend plus grand.