¿Cómo se calcula el volumen de un cono y de una esfera?

El volumen es el espacio que ocupa un cuerpo y se mide en unidades cúbicas, como cm³ o m³ (mira el volumen). En el cilindro es sencillo: área de la base por la altura, πr²h. El cono y la esfera son algo más difíciles, pero cada uno tiene una fórmula corta.

Volumen del cono: V = ⅓πr²h

Aquí r es el radio de la base y h es la altura, la distancia en vertical desde el centro de la base hasta el vértice. La fórmula dice: calcula el área del círculo de la base, πr², multiplícala por la altura y divide entre 3. ¿Por qué un tercio? Si llenas un cono de agua y la echas en un cilindro con la misma base y la misma altura, hacen falta exactamente tres conos para llenarlo. Con la pirámide pasa lo mismo: es un tercio del prisma que la rodea.

Volumen de la esfera: V = ⁴⁄₃πr³

Aquí r es el radio, la distancia del centro a la superficie. El matemático griego Arquímedes descubrió que una esfera ocupa exactamente dos tercios del cilindro que la envuelve (radio r y altura 2r). Ese cilindro tiene un volumen de πr² · 2r = 2πr³, y dos tercios de 2πr³ son ⁴⁄₃πr³. Una semiesfera es la mitad: ⅔πr³.

Hay una relación preciosa entre los tres cuerpos. Toma un cono, una esfera y un cilindro, todos con radio r y altura 2r. Sus volúmenes son ⅔πr³, ⁴⁄₃πr³ y 2πr³: están en la proporción 1 : 2 : 3.

Dos cosas que vigilar. Las dos fórmulas usan el radio: si te dan el diámetro, divídelo entre 2 primero. Y como en la esfera el radio va al cubo, un cambio pequeño en r cambia mucho el volumen: si el radio se duplica, el volumen se multiplica por 2³ = 8. Puedes dejar el resultado «en función de π» (por ejemplo 36π cm³), que es exacto, o usar la calculadora y redondear (113,1 cm³).

Al revés: para sacar el radio de una esfera a partir del volumen, despeja r³ = 3V / (4π) y haz la raíz cúbica. En el cono, h = 3V / (πr²).

¿Cuál es la fórmula del volumen de la esfera?#

V = ⁴⁄₃πr³, donde r es el radio. Es decir: se eleva el radio al cubo, se multiplica por π y por 4 y se divide entre 3.

¿Cómo se calcula el volumen de la esfera con el diámetro?#

Divide el diámetro entre 2 para tener el radio y usa V = ⁴⁄₃πr³. También se puede usar el diámetro directamente: V = πd³ / 6. Una esfera de 6 cm de diámetro tiene 36π ≈ 113,1 cm³.

¿Por qué el volumen del cono se divide entre 3?#

Porque un cono ocupa exactamente un tercio del cilindro con la misma base y la misma altura. Se comprueba con agua o con arroz: tres conos llenos llenan el cilindro. La demostración rigurosa se hace comparando cortes o con integrales.

¿De dónde sale la fórmula del volumen de la esfera?#

Arquímedes demostró que la esfera ocupa dos tercios del cilindro que la envuelve. Ese cilindro mide 2πr³, y ⅔ · 2πr³ = ⁴⁄₃πr³. Hoy también se demuestra con el principio de Cavalieri o con integrales.

¿Cómo se calcula el volumen de una esfera hueca?#

Se resta la esfera de dentro a la de fuera: V = ⁴⁄₃π(R³ − r³), con R el radio exterior y r el interior. Con R = 5 cm y r = 4 cm salen unos 255,5 cm³.

¿Cómo se calcula el volumen de un tronco de cono?#

Calcula el volumen del cono entero y réstale el cono pequeño que se ha cortado. También hay fórmula: V = ⅓πh(R² + Rr + r²), con R y r los radios de las dos bases y h la altura del tronco.

¿Cuál es el volumen de una semiesfera?#

La mitad del de la esfera: V = ⅔πr³. Una semiesfera de 3 cm de radio tiene 18π ≈ 56,5 cm³.