¿Qué es la proporcionalidad directa y cómo se resuelve?

Las entradas del cine cuestan 4 € cada una. 1 entrada cuesta 4 €, 2 entradas cuestan 8 €, 5 entradas cuestan 20 € y 0 entradas no cuestan nada. Compres las que compres, el precio dividido entre el número de entradas siempre da 4. Eso es la proporcionalidad directa: el precio es directamente proporcional al número de entradas.

El número que no cambia se llama constante de proporcionalidad (o razón de proporcionalidad) y se escribe k. En un problema de compras es el precio de una unidad. La fórmula es

y = k · x, es decir, k = y : x

Para comprobar si dos magnitudes son directamente proporcionales hay tres pruebas, que en el fondo dicen lo mismo:

• La prueba del cociente: en una tabla de proporcionalidad, y : x da siempre el mismo número.
• La prueba de la gráfica: en una gráfica, los puntos están sobre una recta que pasa por el origen (0, 0). La pendiente de esa recta es k.
• La prueba del cero: cuando una magnitud vale 0, la otra también; y si multiplicas una por cualquier número, la otra queda multiplicada por el mismo número.

No toda recta es proporcionalidad directa. Un taxi que cobra 9 € por 2 km y 17 € por 6 km tiene una bajada de bandera de 5 € más 2 € por kilómetro. La gráfica es una recta, pero empieza en 5 €, no en 0, y 9 : 2 no es igual a 17 : 6. Si duplicas los kilómetros, el precio no se duplica.

Lo contrario es la proporcionalidad inversa: cuando una magnitud se duplica, la otra se reduce a la mitad. Si 4 pintores tardan 6 horas en pintar una valla, 8 pintores que trabajen al mismo ritmo tardan 3 horas. Ahí lo que no cambia es el producto (4 · 6 = 8 · 3 = 24), y la fórmula es y = k : x.

La proporcionalidad directa aparece en todas partes: la razón de una receta, el cambio de moneda, las escalas de los mapas, la distancia a velocidad constante y los porcentajes (el 10 % de un precio es siempre el precio · 0,1).

En España se usa mucho la regla de tres simple directa. Si 3 manzanas cuestan 6 €, para 5 manzanas se escribe «3 son a 6 como 5 son a x», es decir 3/6 = 5/x. Multiplicando en cruz, 3x = 30 y x = 10 €. Es lo mismo que la reducción a la unidad, escrito en una sola ecuación.

¿Qué es la proporcionalidad directa e inversa?#

En la directa, las dos magnitudes suben o bajan a la vez y el cociente y : x es constante (y = kx). En la inversa, cuando una sube la otra baja y el producto x · y es constante (y = k : x). A la inversa también se le llama a veces proporcionalidad indirecta.

¿Cómo diferenciar la proporcionalidad directa de la inversa?#

Pregúntate: «si duplico una, ¿qué pasa con la otra?». Si también se duplica, es directa. Si se reduce a la mitad, es inversa. Comer más pizzas gasta más huevos (directa); poner más grifos llena la piscina en menos tiempo (inversa).

¿Cuál es la fórmula de la proporcionalidad directa?#

y = k · x, donde k es la constante de proporcionalidad. Se halla dividiendo cualquier valor de y entre su x correspondiente: k = y : x.

¿Cómo se resuelve una regla de tres simple directa?#

Se colocan los datos en dos filas, con la incógnita x: «3 manzanas → 6 €; 5 manzanas → x». Se multiplica en cruz y se divide: x = 5 · 6 : 3 = 10 €.

¿Cómo se grafica la proporcionalidad directa?#

Haz una tabla de valores, dibuja los puntos en unos ejes y únelos: sale una recta que pasa por el origen (0, 0). Cuanto mayor es k, más inclinada es la recta.

¿Qué es la proporcionalidad directa para niños?#

Es cuando dos cosas crecen juntas al mismo ritmo. Si un helado cuesta 2 €, dos helados cuestan 4 € y tres cuestan 6 €: cada helado más suma lo mismo al precio.