Matemáticas
¿Qué es el desarrollo plano de un cuerpo geométrico y cómo es el de un cubo?
Respuesta rápida
El desarrollo plano es la figura plana que, al doblarla, forma un cuerpo geométrico. El del cubo tiene 6 cuadrados unidos por sus lados, y el cubo tiene 11 desarrollos distintos.
En una frase
El desarrollo plano es lo que obtienes al abrir un cuerpo geométrico y extenderlo sobre la mesa: una figura plana que, doblada otra vez, vuelve a formar el cuerpo.
Explicación
Coge una caja de cereales vacía, despega con cuidado las solapas y aplánala sobre la mesa. El cartón que tienes en las manos es su desarrollo plano. Todas las caras siguen ahí, unidas a sus vecinas por las líneas de doblez. Si lo vuelves a doblar, tienes la caja otra vez.
caja
tijeras
pegamento
Las caras de un poliedro son figuras planas, así que su desarrollo también está hecho de figuras planas. Para saber cómo es, cuenta las caras del cuerpo y di qué forma tienen (mira caras, aristas y vértices):
| Cuerpo geométrico | Caras de su desarrollo |
|---|---|
| Cubo | 6 cuadrados |
| Ortoedro (prisma rectangular) | 6 rectángulos, iguales de dos en dos |
| Prisma triangular | 2 triángulos y 3 rectángulos |
| Prisma pentagonal | 2 pentágonos y 5 rectángulos |
| Pirámide cuadrangular | 1 cuadrado y 4 triángulos |
| Pirámide triangular (tetraedro) | 4 triángulos |
| Cilindro | 2 círculos y 1 rectángulo |
| Cono | 1 círculo y 1 sector circular (un «trozo de pizza» de un círculo más grande) |
Un cuerpo puede tener varios desarrollos, porque se puede abrir cortando por aristas distintas. El cubo tiene 11 desarrollos planos distintos. Dos desarrollos cuentan como uno solo si uno es el otro girado o dado la vuelta. Un ortoedro con largo, ancho y alto diferentes tiene 54.
No cualquier grupo de 6 cuadrados forma un cubo. Al doblarlo, dos cuadrados pueden caer en la misma cara y dejar un hueco. Tres comprobaciones rápidas:
- Nunca más de 4 cuadrados en línea recta. El quinto se doblaría encima del primero.
- Ningún bloque de 2 × 2 cuadrados. Cuatro cuadrados en bloque no se pueden plegar.
- Las caras opuestas nunca se tocan. En una fila recta de tres cuadrados, el primero y el tercero quedan enfrentados.
La esfera es la excepción: no tiene desarrollo plano. No se puede aplanar una pelota sin estirarla o romperla, y por eso todos los mapas planos de la Tierra están un poco deformados.
El desarrollo también sirve para calcular el área total: el área del desarrollo es el área de todas las caras del cuerpo.
Ejemplos
- La cruz. Una fila de 4 cuadrados con un cuadrado encima y otro debajo del segundo. Es el desarrollo del cubo más conocido.
- La escalera. Cuadrados de dos en dos: 2, luego 2 y luego 2, cada pareja desplazada un cuadrado. También forma un cubo.
- El cilindro. Para una lata de 3 cm de radio y 8 cm de altura, el rectángulo mide 8 cm de alto y tanto de largo como la longitud de la circunferencia: 2 × π × 3 ≈ 18,8 cm.
- Lo que no es un desarrollo. Seis cuadrados en un rectángulo de 2 × 3 contienen bloques de 2 × 2: no forman un cubo.
Errores frecuentes
- Contar mal las caras. Un prisma triangular tiene 5 caras, no 6. Solución: cuenta primero las caras del cuerpo y luego dibuja.
- Creer que 6 cuadrados cualesquiera forman un cubo. Solución: busca filas de 5 o más, bloques de 2 × 2 y cuadrados que caerían en la misma cara.
- Dibujar corto el rectángulo del cilindro. Su largo debe ser igual a la longitud de la circunferencia (2πr), o las bases no encajan.
- Contar como nuevos los desarrollos girados. Solución: recórtalos. Si uno encaja exactamente encima del otro, es el mismo.
Paso a paso
Paso a paso
- Cuenta las carasNombra el cuerpo y haz la lista de sus caras; por ejemplo, el cubo: 6 cuadrados.
- Dibuja la fila centralCon la regla, traza una fila de 4 cuadrados iguales, por ejemplo de 5 cm. Serán las cuatro caras laterales.
- Añade la base y la tapaDibuja un cuadrado encima y otro debajo del mismo cuadrado de la fila.
- Pon pestañasDibuja pestañas pequeñas en 7 de los bordes exteriores para poder pegarlo.
- Recorta, dobla y pegaRecorta por fuera, dobla todas las líneas hacia el mismo lado y pega las pestañas por dentro.
¿Por qué 7 pestañas? El cubo tiene 12 aristas. En el desarrollo, 5 ya están unidas por un doblez, así que quedan 12 − 5 = 7 aristas por pegar.
Ejercicios de práctica
Desarrollos planos
Resuelve cada uno y luego comprueba tu respuesta.
- ¿Cuántas caras tiene el desarrollo de un ortoedro?
Ver respuesta
El ortoedro tiene 6 caras, así que su desarrollo tiene 6 rectángulos. - ¿Qué figuras forman el desarrollo de un prisma triangular?
Ver respuesta
2 triángulos y 3 rectángulos - ¿Qué cuerpo se forma con 4 triángulos iguales?
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Una pirámide triangular (tetraedro) - Un desarrollo tiene 2 hexágonos y 6 rectángulos. ¿Qué cuerpo forma?
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Un prisma hexagonal - ¿Cuántas caras tiene el desarrollo de una pirámide pentagonal?
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1 pentágono + 5 triángulos = 6 caras - Seis cuadrados en una sola fila recta: ¿es un desarrollo del cubo?
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No. Los extremos se doblarían uno encima del otro. Nunca hay más de 4 cuadrados en fila. - Seis cuadrados formando un rectángulo de 2 × 3: ¿es un desarrollo del cubo?
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No. Contiene bloques de 2 × 2, que no se pueden plegar. - Una fila de 4 cuadrados con un cuadrado encima y otro debajo del segundo: ¿es un desarrollo del cubo?
Ver respuesta
Sí, es la cruz. - Una fila de 4 cuadrados con los otros dos cuadrados encima de la fila: ¿es un desarrollo del cubo?
Ver respuesta
No. Los dos cuadrados extra se doblan sobre la tapa y falta la base. - En la cruz, la fila está numerada 1, 2, 3, 4 y los cuadrados 5 y 6 están encima y debajo del 2. ¿Qué cuadrado queda opuesto al 1?
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En una fila, los cuadrados separados por uno quedan opuestos: el 3. - El desarrollo de un cubo está hecho de cuadrados de 6 cm de lado. ¿Cuál es su área?
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6 × 6 × 6 = 216 cm² - ¿Cuál es el área del desarrollo de un ortoedro de 5 cm × 3 cm × 2 cm?
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2 × (15 + 10 + 6) = 2 × 31 = 62 cm² - Un cilindro tiene 7 cm de radio. ¿Cuánto mide de largo el rectángulo de su desarrollo? Usa π ≈ 3,14.
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2 × 3,14 × 7 = 43,96 cm - Todo desarrollo del cubo tiene 14 lados exteriores. ¿Cuál es el perímetro de un desarrollo con cuadrados de 4 cm?
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14 × 4 = 56 cm
Problemas
Desarrollos planos en la vida real
Resuelve cada uno y luego comprueba tu respuesta.
- Haces una caja de regalo con forma de cubo de 10 cm de arista. ¿Cuánto cartón necesitas, sin contar las pestañas?
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6 × 10 × 10 = 600 cm² - Una caja de pañuelos mide 24 cm de largo, 12 cm de ancho y 10 cm de alto. ¿Cuánto cartón tiene su desarrollo, sin pestañas?
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2 × (288 + 240 + 120) = 2 × 648 = 1296 cm² - Una lata tiene 4 cm de radio y 11 cm de altura. ¿Qué medidas tiene la etiqueta de papel que la rodea? Usa π ≈ 3,14.
Ver respuesta
Largo: 2 × 3,14 × 4 = 25,12 cm, así que 25,12 cm por 11 cm (unos 276 cm²). - En un dado, las caras opuestas suman 7. En el desarrollo de un dado escribes un 3 en un extremo de una fila de tres cuadrados. ¿Qué número va en el otro extremo?
Ver respuesta
Los extremos de una fila de tres quedan opuestos: 7 − 3 = 4. - Una tienda de campaña es un prisma triangular de 2 m de largo. Cada extremo es un triángulo de 1,6 m de base y 0,6 m de altura, y cada lado inclinado mide 1 m de ancho. ¿Cuánta tela cubre los dos extremos y los dos lados inclinados?
Ver respuesta
Extremos: 2 × (1,6 × 0,6 : 2) = 0,96 m²; lados: 2 × 1 × 2 = 4 m²; total 4,96 m²
Preguntas frecuentes
¿Qué es el desarrollo plano de un cuerpo geométrico?
Es la figura plana que se obtiene al abrir un cuerpo cortando por algunas de sus aristas. Si se dobla por las líneas, forma el cuerpo sin huecos ni solapamientos.
¿Cuántos desarrollos planos tiene un cubo?
Exactamente 11. Todos tienen 6 cuadrados, y las versiones giradas o dadas la vuelta de un mismo dibujo no se cuentan otra vez.
¿Cómo sé si un desarrollo forma un cubo?
Debe tener 6 cuadrados, ninguna fila de más de 4 y ningún bloque de 2 × 2. Después imagina que lo doblas: si dos cuadrados caen en la misma cara, no sirve. Recortarlo y plegarlo es la prueba más segura.
¿Cómo es el desarrollo plano de un cilindro?
Dos círculos (las bases) y un rectángulo. La altura del rectángulo es la del cilindro y su largo es la longitud de la circunferencia de la base, 2πr.
¿Cómo es el desarrollo de una pirámide cuadrangular y de un prisma triangular?
La pirámide cuadrangular: 1 cuadrado rodeado de 4 triángulos. El prisma triangular: 3 rectángulos en fila con un triángulo a cada lado.
¿La esfera tiene desarrollo plano?
No. Una superficie curva como la de una pelota no se puede extender en el plano sin estirarla, así que no tiene desarrollo exacto. Los balones y los globos terráqueos se acercan usando muchas piezas pequeñas.
¿Cómo se hace el desarrollo de un cubo para armar?
Dibuja la cruz con regla (una fila de 4 cuadrados y uno encima y otro debajo), añade 7 pestañas, recorta, dobla todas las líneas y pega las pestañas.
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Desarrollo plano de los cuerpos geométricos
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Pregunta 1 de 4
¿Cuántos cuadrados tiene el desarrollo plano de un cubo?
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